点A(3, 0), B(6, 0), C(0, 6)に対して、点Pが以下の条件を満たしながら動くとき、点Pが描く図形をそれぞれ求めます。 (1) $|\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}| = 3$ (2) $\vec{AC} \cdot (3\vec{AP} - \vec{AB}) = |\vec{AC}|^2$ 選択肢から答えを選びます。

1. 問題の内容

点A(3, 0), B(6, 0), C(0, 6)に対して、点Pが以下の条件を満たしながら動くとき、点Pが描く図形をそれぞれ求めます。

(1) $|\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}| = 3$

(2) $\vec{AC} \cdot (3\vec{AP} - \vec{AB}) = |\vec{AC}|^2$

選択肢から答えを選びます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$となる点Gは三角形ABCの重心です。

点Gの位置ベクトルは、$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$で与えられます。

よって、G( (3+6+0)/3, (0+0+6)/3 ) = G(3, 2) となります。

$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} = (\vec{GA} - \vec{GP}) + (\vec{GB} - \vec{GP}) + (\vec{GC} - \vec{GP}) = (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) - 3\vec{GP} = -3\vec{GP}$

したがって、 $|\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}| = |-3\vec{GP}| = 3|\vec{GP}| = 3$

$|\vec{GP}| = 1$

これは点Pと点Gの距離が1であることを示します。

したがって、点Pは点G(3, 2)を中心とする半径1の円を描きます。

(2) $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (0, 6) - (3, 0) = (-3, 6)$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (6, 0) - (3, 0) = (3, 0)$

$\vec{AP} = (x-3, y)$とおきます。

$3\vec{AP} - \vec{AB} = 3(x-3, y) - (3, 0) = (3x - 9 - 3, 3y) = (3x - 12, 3y)$

$\vec{AC} \cdot (3\vec{AP} - \vec{AB}) = (-3, 6) \cdot (3x - 12, 3y) = -3(3x - 12) + 6(3y) = -9x + 36 + 18y$

$|\vec{AC}|^2 = (-3)^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$

$-9x + 36 + 18y = 45$

$-9x + 18y = 9$

$-x + 2y = 1$

$x - 2y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) ①

(2) ①