空間内の3点 $A(4, 8, -4)$, $B(1, 1, 1)$, $C(2, 3, -1)$ が与えられている。 ベクトル $\vec{a} = \overrightarrow{CA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{CB}$ を求め、$\vec{b}$ の大きさを求める。 また、ベクトル $\vec{c} = (0, 0, 1)$, $\vec{d} = (-4, -9, 0)$ が与えられているとき、$\vec{d}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ の線形結合で表す。

1. 問題の内容

空間内の3点 $A(4, 8, -4)$, $B(1, 1, 1)$, $C(2, 3, -1)$ が与えられている。

ベクトル $\vec{a} = \overrightarrow{CA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{CB}$ を求め、$\vec{b}$ の大きさを求める。

また、ベクトル $\vec{c} = (0, 0, 1)$, $\vec{d} = (-4, -9, 0)$ が与えられているとき、$\vec{d}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ の線形結合で表す。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} = \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = (4, 8, -4) - (2, 3, -1) = (2, 5, -3)$

$\vec{b} = \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = (1, 1, 1) - (2, 3, -1) = (-1, -2, 2)$

次に、$\vec{b}$ の大きさを計算する。

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

最後に、$\vec{d} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ と表す。

$\vec{d} = (-4, -9, 0) = s(2, 5, -3) + t(-1, -2, 2) + u(0, 0, 1)$

この式は以下の連立方程式に対応する。

$2s - t = -4$

$5s - 2t = -9$

$-3s + 2t + u = 0$

最初の2式から $s$ と $t$ を求める。

最初の式を2倍すると $4s - 2t = -8$。

2番目の式から最初の式を引くと $s = -1$。

$t = 2s + 4 = 2(-1) + 4 = 2$

$-3(-1) + 2(2) + u = 0$ より $3 + 4 + u = 0$, よって $u = -7$。

したがって、$\vec{d} = -1\vec{a} + 2\vec{b} -7\vec{c}$ となる。

3. 最終的な答え

$\vec{a} = (2, 5, -3)$

$\vec{b} = (-1, -2, 2)$

$|\vec{b}| = 3$

$\vec{d} = -1\vec{a} + 2\vec{b} -7\vec{c}$