点A(3,0), B(6,0), C(0,6)に対して、点Pが次の条件を満たしながら動くとき、点Pのえがく図形をそれぞれ求める。 (1) $|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}| = 3$ (2) $\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AC}|^2$

1. 問題の内容

点A(3,0), B(6,0), C(0,6)に対して、点Pが次の条件を満たしながら動くとき、点Pのえがく図形をそれぞれ求める。

(1) $|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}| = 3$

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AC}|^2$

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$となる点Gは$\triangle ABC$の重心である。

$G = (\frac{3+6+0}{3}, \frac{0+0+6}{3}) = (3, 2)$

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = (\overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{PG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{PG}$

よって、 $|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}| = 3$は$|3\overrightarrow{PG}| = 3$となり、 $|\overrightarrow{PG}| = 1$となる。

これは点G(3,2)を中心とする半径1の円を表す。

よって、(1)の答えは1。

(2)

$\overrightarrow{AC} = (-3, 6)$

$\overrightarrow{AB} = (3, 0)$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = (-3)^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$

$\overrightarrow{AP} = (x-3, y)$とすると

$3\overrightarrow{AP} = (3x-9, 3y)$

$3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} = (3x-9-3, 3y-0) = (3x-12, 3y)$

$\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = (-3, 6) \cdot (3x-12, 3y) = -3(3x-12) + 6(3y) = -9x + 36 + 18y = 45$

$-9x + 18y = 9$

$-x + 2y = 1$

$x - 2y + 1 = 0$

よって、(2)の答えは1。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1