点A(-2, 5, 0)と点B(2, 3, -4)を通る直線lについて、以下の問題を解く。 (1) 直線lをパラメータ表示する。 (2) 原点(0, 0, 0)から直線lに下ろした垂線と直線lとの交点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(-2, 5, 0)と点B(2, 3, -4)を通る直線lについて、以下の問題を解く。

(1) 直線lをパラメータ表示する。

(2) 原点(0, 0, 0)から直線lに下ろした垂線と直線lとの交点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線lのパラメータ表示

直線lは、点Aと点Bを通るので、ベクトル $\vec{AB}$ は直線lの方向ベクトルとなる。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (2-(-2), 3-5, -4-0) = (4, -2, -4)$

直線l上の任意の点をP(x, y, z)とすると、パラメータtを用いて、

$\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{AB}$

と表せる。したがって、

$(x, y, z) = (-2, 5, 0) + t(4, -2, -4)$

より、

$x = -2 + 4t$

$y = 5 - 2t$

$z = -4t$

(2) 交点Pの座標

点Pは直線l上の点であるから、Pの座標はパラメータtを用いて、

$P(-2+4t, 5-2t, -4t)$

と表せる。

$\vec{OP} = (-2+4t, 5-2t, -4t)$

原点Oから直線lに下ろした垂線と直線lとの交点がPであるから、$\vec{OP}$ は直線lの方向ベクトル $\vec{AB}$ と垂直である。したがって、内積は0となる。

$\vec{OP} \cdot \vec{AB} = 0$

$(-2+4t) \cdot 4 + (5-2t) \cdot (-2) + (-4t) \cdot (-4) = 0$

$-8 + 16t - 10 + 4t + 16t = 0$

$36t = 18$

$t = \frac{1}{2}$

これをPの座標に代入して、

$x = -2 + 4(\frac{1}{2}) = -2 + 2 = 0$

$y = 5 - 2(\frac{1}{2}) = 5 - 1 = 4$

$z = -4(\frac{1}{2}) = -2$

したがって、点Pの座標は(0, 4, -2)

3. 最終的な答え

(1) 直線lのパラメータ表示: $x = -2 + 4t$, $y = 5 - 2t$, $z = -4t$

(2) 交点Pの座標: (0, 4, -2)