3点A(6,5), B(-2,3), C(2,1)を頂点とする三角形ABCがある。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 点Aを通り、直線BCに平行な直線の式を求めよ。 (3) 直線OC上に点Pをとり、三角形OPBと四角形OCABの面積が等しくなるようにする。ただし、点Pのx座標は正とする。点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

3点A(6,5), B(-2,3), C(2,1)を頂点とする三角形ABCがある。

(1) 三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 点Aを通り、直線BCに平行な直線の式を求めよ。

(3) 直線OC上に点Pをとり、三角形OPBと四角形OCABの面積が等しくなるようにする。ただし、点Pのx座標は正とする。点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

三角形ABCの面積は、ベクトルを用いて計算できる。ベクトルABとベクトルACを求め、それらの外積の絶対値の半分が面積となる。

ベクトルAB = ((-2) - 6, 3 - 5) = (-8, -2)

ベクトルAC = (2 - 6, 1 - 5) = (-4, -4)

面積 = (1/2) * |(-8)*(-4) - (-2)*(-4)| = (1/2) * |32 - 8| = (1/2) * 24 = 12

(2) 点Aを通り、直線BCに平行な直線の式を求める。

まず、直線BCの傾きを求める。

傾き = (1 - 3) / (2 - (-2)) = -2 / 4 = -1/2

求める直線は、点A(6,5)を通り、傾きが-1/2であるから、

y - 5 = (-1/2) * (x - 6)

y = (-1/2)x + 3 + 5

y = (-1/2)x + 8

(3) 直線OC上に点Pをとり、三角形OPBと四角形OCABの面積が等しくなるようにする。

直線OCの式は、原点を通るので $y=ax$の形になる。点C(2,1)を通るので、 $1=2a$、$a=1/2$。

したがって、直線OCの式は $y = (1/2)x$となる。

点Pは直線OC上にあるので、P(p, p/2)と置ける。ただし、p > 0。

四角形OCABの面積 = 三角形ABCの面積 + 三角形OBCの面積

三角形OBCの面積 = (1/2) * |(-2)*1 - 3*2| = (1/2) * |-2 - 6| = (1/2) * 8 = 4

四角形OCABの面積 = 12 + 4 = 16

三角形OPBの面積 = (1/2) * |p*3 - (p/2)*(-2)| = (1/2) * |3p + p| = (1/2) * 4p = 2p

三角形OPBの面積 = 四角形OCABの面積より

2p = 16

p = 8

したがって、点Pの座標は(8, 4)

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) $y = -\frac{1}{2}x + 8$

(3) P(8, 4)