直角三角形ABCにおいて、辺ACの長さを、辺ABと角度36°、および辺BCと角度54°を用いて表す式を完成させる問題です。空欄にsin, cos, tanの中から適切なものを入れます。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、辺ACの長さを、辺ABと角度36°、および辺BCと角度54°を用いて表す式を完成させる問題です。空欄にsin, cos, tanの中から適切なものを入れます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直角三角形ABCについて、角Aは36°、角Cは90°、角Bは54°であることが分かっています。

$AC = AB \times □ 36°$ の場合：

$cos(\theta) = \frac{隣辺}{斜辺}$ の関係を利用します。

$cos(36°) = \frac{AC}{AB}$ より、$AC = AB \times cos(36°)$ となります。

$AC = BC \times □ 54°$ の場合：

$tan(\theta) = \frac{対辺}{隣辺}$ の関係を利用します。

$tan(54°) = \frac{AC}{BC}$ではないため、$AC = BC \times tan(54°)$は間違いです。

$AC = BC \times cot(54°)$と表すことができますが、$cot(\theta)$は選択肢にありません。

角度54°に関する別の三角比を探します。

$cos(54°) = \frac{BC}{AB}$、$sin(54°) = \frac{AC}{AB}$となるため、$tan(54°) = \frac{sin(54°)}{cos(54°)} = \frac{AC}{BC}$

したがって、$AC = BC \times tan(54°)$

しかし、選択肢にtan54°がないので、与えられた角54°に関して $tan$ 以外の三角比を考えます。

$\angle B = 54^\circ$ なので、$\angle A = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$ より $tan(36^\circ) = \frac{BC}{AC}$ であるから、$AC = \frac{BC}{tan(36^\circ)}$

また、$sin(36^\circ) = \frac{BC}{AB}$、$cos(36^\circ) = \frac{AC}{AB}$

$sin(54^\circ) = cos(36^\circ) = \frac{AC}{AB}$、$cos(54^\circ) = sin(36^\circ) = \frac{BC}{AB}$

$\frac{AC}{BC} = \frac{AB \cdot cos(54^\circ)}{AB \cdot sin(54^\circ)} = \frac{cos(54^\circ)}{sin(54^\circ)} = cot(54^\circ)$

なので、逆数をとると、$tan(54^\circ) = \frac{AC}{BC}$ となり、$AC = BC \times tan(54^\circ)$

または、$sin(54^\circ) = \frac{AC}{AB}$、$cos(54^\circ) = \frac{BC}{AB}$　を利用して、$AC = AB \times sin(54^\circ)$、$BC = AB \times cos(54^\circ)$

$\frac{AC}{BC} = \frac{sin(54^\circ)}{cos(54^\circ)}$

$\tan{\theta} = \frac{1}{cot{\theta}}$ であり、$cot{54^\circ}$は選択肢にない。

$BC = AB \times cos(54^\circ)$ より $AB = \frac{BC}{cos(54^\circ)}$

$AC = AB \times sin(54^\circ)$に代入すると、$AC = \frac{BC}{cos(54^\circ)} \times sin(54^\circ) = BC \times \frac{sin(54^\circ)}{cos(54^\circ)} = BC \times tan(54^\circ)$

$\angle B = 54^\circ$ なので $BC$ から辺 $AC$ を求めるには $tan$ を利用するしかない。

しかし、問題に $\angle B$ が与えられているので、$\angle A = 36^\circ$ を利用しなくてはならない。

$\angle B$から$BC$に隣接するのは、$cot(\angle B) = \frac{BC}{AC}$ したがって、$AC = \frac{BC}{cot(54^\circ)} = BC \times tan(54^\circ)$

角度54°を$\frac{辺AC}{辺BC}$の関係で考えると、$tan$を使用することになりますが、選択肢にありません。

そこで、$\angle B = 54^\circ$ から $tan(54^\circ) = \frac{AC}{BC}$となり、$AC = BC \times tan(54^\circ)$が導けます。

しかし、54°のtanの値が選択肢にないので、sinかcosにする必要があります。

$\frac{\pi}{2} - \frac{36^\circ}{} = 54^\circ$の関係から、

$cos(36^\circ) = sin(54^\circ)$であり、$sin(36^\circ) = cos(54^\circ)$となるため、

$AC = BC \times cos(36^\circ) = BC \times sin(54^\circ)$

3. 最終的な答え

$AC = AB \times cos(36°)$

$AC = BC \times tan(54°)$