直線 $l$ の周りに図形を1回転させてできる立体の体積を求める問題です。 (1) は、底辺が5cm、高さが12cmの三角形を直線 $l$ の周りに回転させた立体の体積を求めます。この立体は円錐になります。 (2) は、L字型の図形を直線 $l$ の周りに回転させた立体の体積を求めます。この立体は、大きな円柱から小さな円柱をくり抜いたような形になります。

1. 問題の内容

直線 $l$ の周りに図形を1回転させてできる立体の体積を求める問題です。

(1) は、底辺が5cm、高さが12cmの三角形を直線 $l$ の周りに回転させた立体の体積を求めます。この立体は円錐になります。

(2) は、L字型の図形を直線 $l$ の周りに回転させた立体の体積を求めます。この立体は、大きな円柱から小さな円柱をくり抜いたような形になります。

2. 解き方の手順

(1)

円錐の体積は、底面積 × 高さ ÷ 3 で求められます。

底面積は $πr^2$ で求められます。今回は $r = 5$ cm, $h = 12$ cm です。

底面積 $= π × 5^2 = 25π$

体積 $= 25π × 12 ÷ 3 = 100π$

(2)

大きい円柱の半径は6cm、高さは5cm。

小さい円柱の半径は4cm、高さは2cm。

大きい円柱の体積から小さい円柱の体積を引いたものが求める体積です。

大きい円柱の体積 $= π × 6^2 × 5 = 180π$

小さい円柱の体積 $= π × 4^2 × 2 = 32π$

求める体積 $= 180π - 32π = 148π$

3. 最終的な答え

(1) $100π \text{ cm}^3$

(2) $148π \text{ cm}^3$