直線 $l$ を $y = (\tan 2\theta)x$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{4}$) とする。$y \geq 0$ の領域にあり、点$(1, 0)$ で $x$ 軸に接し、直線 $l$ にも接する円を $C_1$ とする。また、$l$ と $C_k$ ($k = 1, 2, 3, \dots$) と $x$ 軸に接する円を $C_{k+1}$ とする。円 $C_k$ の面積を $S_k$ とするとき、$\sum_{k=1}^{\infty} S_k$ を求めよ。ただし、$S_1 > S_2 > S_3 > \dots$ とする。

1. 問題の内容

直線 $l$ を $y = (\tan 2\theta)x$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{4}$) とする。$y \geq 0$ の領域にあり、点$(1, 0)$ で $x$ 軸に接し、直線 $l$ にも接する円を $C_1$ とする。また、$l$ と $C_k$ ($k = 1, 2, 3, \dots$) と $x$ 軸に接する円を $C_{k+1}$ とする。円 $C_k$ の面積を $S_k$ とするとき、$\sum_{k=1}^{\infty} S_k$ を求めよ。ただし、$S_1 > S_2 > S_3 > \dots$ とする。

2. 解き方の手順

まず、円 $C_k$ の半径を $r_k$ とおく。すると、$C_k$ の面積は $S_k = \pi r_k^2$ となる。したがって、$\sum_{k=1}^{\infty} S_k = \pi \sum_{k=1}^{\infty} r_k^2$ となるので、$\sum_{k=1}^{\infty} r_k^2$ を求めることを考える。

$C_1$ の中心を $(1, r_1)$ とすると、点 $(1, r_1)$ から直線 $y = (\tan 2\theta)x$ までの距離が $r_1$ に等しいので、点と直線の距離の公式より、

$$r_1 = \frac{|(\tan 2\theta) \cdot 1 - 1 \cdot r_1|}{\sqrt{(\tan 2\theta)^2 + 1}} = \frac{|\tan 2\theta - r_1|}{\sqrt{\tan^2 2\theta + 1}}$$

$r_1 = \frac{|\tan 2\theta - r_1|}{\sec 2\theta}$ となる。

ここで、$\tan 2\theta - r_1 > 0$ なので、

$r_1 \sec 2\theta = \tan 2\theta - r_1$

$r_1 (\sec 2\theta + 1) = \tan 2\theta$

$r_1 = \frac{\tan 2\theta}{\sec 2\theta + 1} = \frac{\frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}}{\frac{1}{\cos 2\theta} + 1} = \frac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \frac{2\sin \theta \cos \theta}{1 + 2\cos^2 \theta - 1} = \frac{2\sin \theta \cos \theta}{2\cos^2 \theta} = \tan \theta$

次に、$r_k$ の関係を求める。円 $C_k$ の中心を $(x_k, r_k)$ とすると、$x_{k+1} = x_k + r_k + r_{k+1}$。また、円 $C_k$ の中心 $(x_k, r_k)$ から直線 $l$ までの距離は $r_k$ なので、$C_{k+1}$ の中心 $(x_{k+1}, r_{k+1})$ から直線 $l$ までの距離は $r_{k+1}$ である。これらの条件から、$r_{k+1} = r_k \tan^2 \theta$ がわかる。

よって、$r_k = r_1 (\tan^2 \theta)^{k-1} = (\tan \theta)(\tan^2 \theta)^{k-1} = \tan^{2k-1} \theta$。

したがって、$S_k = \pi r_k^2 = \pi (\tan^{2k-1} \theta)^2 = \pi \tan^{4k-2} \theta$。

$\sum_{k=1}^{\infty} S_k = \sum_{k=1}^{\infty} \pi \tan^{4k-2} \theta = \pi \tan^2 \theta \sum_{k=1}^{\infty} (\tan^4 \theta)^{k-1} = \pi \tan^2 \theta \sum_{k=0}^{\infty} (\tan^4 \theta)^k$。

ここで、$|\tan^4 \theta| < 1$ より、

$\sum_{k=0}^{\infty} (\tan^4 \theta)^k = \frac{1}{1 - \tan^4 \theta}$。

したがって、$\sum_{k=1}^{\infty} S_k = \pi \tan^2 \theta \cdot \frac{1}{1 - \tan^4 \theta} = \frac{\pi \tan^2 \theta}{1 - \tan^4 \theta} = \frac{\pi \tan^2 \theta}{(1 - \tan^2 \theta)(1 + \tan^2 \theta)} = \frac{\pi \tan^2 \theta}{(1 - \tan^2 \theta)(\sec^2 \theta)} = \frac{\pi \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \cdot \frac{\cos^2 \theta}{1 - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \frac{\pi \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} = \frac{\pi \sin^2 \theta}{\cos 2\theta}$。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sin^2 \theta}{\cos 2\theta}$