直線 $y = -\frac{1}{3}x + b$ (bは定数) が $x$ 軸, $y$ 軸とそれぞれ点A, Bで交わっている。三角形OABの内部で、$x$ 座標, $y$ 座標がともに自然数となる点が2個であるとき、$b$ がとることのできる値の範囲を求める。ただし、三角形の周上の点は内部に含まないものとする。

1. 問題の内容

直線 $y = -\frac{1}{3}x + b$ (bは定数) が $x$ 軸, $y$ 軸とそれぞれ点A, Bで交わっている。三角形OABの内部で、$x$ 座標, $y$ 座標がともに自然数となる点が2個であるとき、$b$ がとることのできる値の範囲を求める。ただし、三角形の周上の点は内部に含まないものとする。

2. 解き方の手順

まず、三角形OABの内部で、$x$座標、$y$座標がともに自然数となる点の座標を考える。

$x$座標が1であるとき、$y$座標が1となる点 $(1,1)$ が候補となる。

$x$座標が2であるとき、$y$座標が1となる点 $(2,1)$ が候補となる。

$x$座標が3であるとき、$y$座標が1となる点 $(3,1)$ が候補となる。

同様に、$x$座標が4, 5, ... の場合も考える。

次に、$y = -\frac{1}{3}x + b$ が点 $(1,1)$ を通るとき、$1 = -\frac{1}{3}(1) + b$ より、$b = \frac{4}{3}$。

点 $(2,1)$ を通るとき、$1 = -\frac{1}{3}(2) + b$ より、$b = \frac{5}{3}$。

点 $(3,1)$ を通るとき、$1 = -\frac{1}{3}(3) + b$ より、$b = 2$。

OABの内部に $(1,1)$ が含まれるためには、$b>\frac{4}{3}$ である必要がある。

OABの内部に $(1,1)$ と $(2,1)$ が含まれるためには、$b>\frac{5}{3}$ である必要がある。

OABの内部に $(1,1), (2,1), (3,1)$ が含まれるためには、$b>2$ である必要がある。

OABの内部に $(1,1)$ と $(2,1)$ が含まれ、$(3,1)$ が含まれないためには、$2 \geq b > \frac{5}{3}$ である必要がある。

このとき、$x=1$ のときの $y$ の値は $y = -\frac{1}{3}(1) + b$ であり、$x=2$ のときの $y$ の値は $y = -\frac{1}{3}(2) + b$ である。

また、$x=3$ のときの $y$ の値は $y = -\frac{1}{3}(3) + b$ である。

内部の点がちょうど2個であるためには、

(1) $(1,1)$と$(2,1)$のみが含まれる場合

$b > \frac{5}{3}$ かつ $b \le 2$ が必要。

$x$軸との交点Aのx座標は、$0 = -\frac{1}{3}x + b$ より、$x = 3b$

$y$軸との交点Bのy座標は、$x=0$ より、$y=b$

$(1,2)$が含まれないためには、$(1,2)$は $y < -\frac{1}{3}x + b$ を満たす必要があるので、$2 \geq -\frac{1}{3}(1) + b$ が必要。$b \leq \frac{7}{3}$

$(2,2)$が含まれないためには、$(2,2)$は $y < -\frac{1}{3}x + b$ を満たす必要があるので、$2 \geq -\frac{1}{3}(2) + b$ が必要。$b \leq \frac{8}{3}$

したがって、$\frac{5}{3} < b \leq 2$

内部の点が$(1,1)$と$(1,2)$のとき。

$b>2$　かつ $x=1$で$y=3$を超えない

$x=1$で$y<-\frac{1}{3}+b$

$y=2$を含む$b>\frac{7}{3}$

(1,1)(1,2)(2,1)が含まれるなら b>2

2 < b <= 7/3

$\frac{5}{3} < b \leq \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3} < b < \frac{7}{3}$