与えられた直線、放物線、円を原点を中心に反時計回りに $\frac{\pi}{3}$ だけ回転させた後の式を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた直線、放物線、円を原点を中心に反時計回りに $\frac{\pi}{3}$ だけ回転させた後の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 直線: $y = \sqrt{3}x + 5$

原点周りの回転変換は、点 $(x, y)$ を $(x', y')$ に移すとき、

$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$

$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$

となる。$\theta = \frac{\pi}{3}$ なので、$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入すると、

$x = \frac{1}{2} x' - \frac{\sqrt{3}}{2} y'$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} x' + \frac{1}{2} y'$

これを元の式に代入すると、

$\frac{\sqrt{3}}{2} x' + \frac{1}{2} y' = \sqrt{3} (\frac{1}{2} x' - \frac{\sqrt{3}}{2} y') + 5$

$\frac{\sqrt{3}}{2} x' + \frac{1}{2} y' = \frac{\sqrt{3}}{2} x' - \frac{3}{2} y' + 5$

$\frac{1}{2} y' + \frac{3}{2} y' = 5$

$2y' = 5$

$y' = \frac{5}{2}$

(2) 放物線: $y = \sqrt{3}x^2 + 10$

同様に代入すると、

$\frac{\sqrt{3}}{2} x' + \frac{1}{2} y' = \sqrt{3} (\frac{1}{2} x' - \frac{\sqrt{3}}{2} y')^2 + 10$

$\frac{\sqrt{3}}{2} x' + \frac{1}{2} y' = \sqrt{3} (\frac{1}{4} x'^2 - \frac{\sqrt{3}}{2} x' y' + \frac{3}{4} y'^2) + 10$

$\frac{\sqrt{3}}{2} x' + \frac{1}{2} y' = \frac{\sqrt{3}}{4} x'^2 - \frac{3}{2} x' y' + \frac{3\sqrt{3}}{4} y'^2 + 10$

$2\sqrt{3} x' + 2 y' = \sqrt{3} x'^2 - 6 x' y' + 3\sqrt{3} y'^2 + 40$

$2y' = \sqrt{3}x'^2 - 6x'y' + 3\sqrt{3}y'^2 - 2\sqrt{3}x' + 40$

$y' = \frac{\sqrt{3}}{2}x'^2 - 3x'y' + \frac{3\sqrt{3}}{2}y'^2 - \sqrt{3}x' + 20$

(3) 円: $(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4$

同様に代入すると、

$(\frac{1}{2} x' - \frac{\sqrt{3}}{2} y' - 1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} x' + \frac{1}{2} y' - \sqrt{3})^2 = 4$

$(\frac{1}{4} x'^2 - \frac{\sqrt{3}}{2} x' y' + \frac{3}{4} y'^2 - x' + \sqrt{3} y' + 1) + (\frac{3}{4} x'^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} x' y' + \frac{1}{4} y'^2 - 3 x' - \sqrt{3} y' + 3) = 4$

$x'^2 + y'^2 - 4x' + 4 = 4$

$x'^2 + y'^2 - 4x' = 0$

$(x'-2)^2 + y'^2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{5}{2}$

(2) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 - 3xy + \frac{3\sqrt{3}}{2}y^2 - \sqrt{3}x + 20$

(3) $(x-2)^2 + y^2 = 4$