与えられた直線、放物線、円を、原点を中心として反時計回りに $\pi/3$ だけ回転させた後の関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた直線、放物線、円を、原点を中心として反時計回りに $\pi/3$ だけ回転させた後の関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

座標 $(x, y)$ を反時計回りに $\theta$ 回転させた後の座標を $(x', y')$ とすると、次の関係が成り立ちます。

$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$

$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$

$\theta = \pi/3$ のとき、$\cos (\pi/3) = 1/2$ 、$\sin (\pi/3) = \sqrt{3}/2$ なので、

$x = \frac{1}{2}x' - \frac{\sqrt{3}}{2}y'$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y'$

これらを各方程式に代入して、$x', y'$ の関係式を求めます。簡単のため、回転後の座標を $(x, y)$ で表すことにします。

(1) 直線: $y = \sqrt{3}x + 5$

上記の関係式を代入すると、

$\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = \sqrt{3}(\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y) + 5$

$\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{3}{2}y + 5$

$\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}y = 5$

$2y = 5$

$y = \frac{5}{2}$

(2) 放物線: $y = \sqrt{3}x^2 + 10$

上記の関係式を代入すると、

$\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = \sqrt{3}(\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y)^2 + 10$

$\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = \sqrt{3}(\frac{1}{4}x^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}xy + \frac{3}{4}y^2) + 10$

$2\sqrt{3}x + 2y = \sqrt{3}x^2 - 6xy + 3\sqrt{3}y^2 + 40$

$\sqrt{3}x^2 - 6xy + 3\sqrt{3}y^2 - 2\sqrt{3}x - 2y + 40 = 0$

(3) 円: $(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4$

上記の関係式を代入すると、

$(\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y - 1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y - \sqrt{3})^2 = 4$

$(\frac{1}{4}x^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}xy + \frac{3}{4}y^2 - x + \sqrt{3}y + 1) + (\frac{3}{4}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}xy + \frac{1}{4}y^2 - 3x - \sqrt{3}y + 3) = 4$

$x^2 + y^2 - 4x + 4 = 4$

$x^2 + y^2 - 4x = 0$

3. 最終的な答え

(1) 直線: $y = \frac{5}{2}$

(2) 放物線: $\sqrt{3}x^2 - 6xy + 3\sqrt{3}y^2 - 2\sqrt{3}x - 2y + 40 = 0$

(3) 円: $x^2 + y^2 - 4x = 0$