三角形ABCと点Pがあり、$3\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 5\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$を満たしている。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$として、$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$で表す。また、2直線AP, BCの交点をQとするとき、BQ:QCおよびAP:PQを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pがあり、$3\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 5\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$を満たしている。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$として、$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$で表す。また、2直線AP, BCの交点をQとするとき、BQ:QCおよびAP:PQを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$で表す。

まず、$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{c}$である。

これを与えられた式に代入する。

$3\overrightarrow{AP} + 4(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{b}) + 5(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0}$

$3\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{AP} - 4\overrightarrow{b} + 5\overrightarrow{AP} - 5\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$

$12\overrightarrow{AP} = 4\overrightarrow{b} + 5\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{b} + 5\overrightarrow{c}}{12}$

したがって、選択肢(2)が正しい。

(2) BQ:QCおよびAP:PQを求める。

点Qは直線BC上にあるので、ある実数$s$を用いて$\overrightarrow{AQ} = (1-s)\overrightarrow{AB} + s\overrightarrow{AC} = (1-s)\overrightarrow{b} + s\overrightarrow{c}$と表せる。

また、点Qは直線AP上にあるので、ある実数$t$を用いて$\overrightarrow{AQ} = t\overrightarrow{AP} = t(\frac{4\overrightarrow{b} + 5\overrightarrow{c}}{12}) = \frac{t}{3}\overrightarrow{b} + \frac{5t}{12}\overrightarrow{c}$と表せる。

$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$は一次独立なので、係数を比較して、

$1-s = \frac{t}{3}$

$s = \frac{5t}{12}$

これらの式から$s$と$t$を求める。

$1 - \frac{5t}{12} = \frac{t}{3}$

$1 = \frac{t}{3} + \frac{5t}{12} = \frac{4t+5t}{12} = \frac{9t}{12} = \frac{3t}{4}$

$t = \frac{4}{3}$

$s = \frac{5}{12} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{9}$

$s = \frac{5}{9}$なので、BQ:QC = $s:(1-s) = \frac{5}{9}:(1 - \frac{5}{9}) = \frac{5}{9}:\frac{4}{9} = 5:4$

また、$t = \frac{4}{3}$なので、AP:AQ = $1:\frac{4}{3} = 3:4$

したがって、AP:PQ = 3:(4-3) = 3:1

したがって、選択肢(1)が正しい。

3. 最終的な答え

(1) ②

(2) ①