直線 $x - 2y = 4$ と $x$ 軸との交点を A、$y$ 軸との交点を B とする。$y$ 軸上に点 C(0, 4) があり、線分 AB 上に点 P がある。直線 CP と $x$ 軸との交点を Q とする。 (1) 2 点 A, C を通る直線の式を求めよ。 (2) $\triangle COQ = \triangle AQP$ となるとき、点 P の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $x - 2y = 4$ と $x$ 軸との交点を A、$y$ 軸との交点を B とする。$y$ 軸上に点 C(0, 4) があり、線分 AB 上に点 P がある。直線 CP と $x$ 軸との交点を Q とする。

(1) 2 点 A, C を通る直線の式を求めよ。

(2) $\triangle COQ = \triangle AQP$ となるとき、点 P の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、点 A の座標を求める。直線 $x - 2y = 4$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入すると、$x = 4$。したがって、点 A の座標は (4, 0) である。点 C の座標は (0, 4) である。

2 点 (4, 0), (0, 4) を通る直線の式を $y = mx + c$ とおく。

(4, 0) を通るので、$0 = 4m + c$。

(0, 4) を通るので、$4 = 0m + c$。

したがって、$c = 4$ であり、$0 = 4m + 4$ より、$m = -1$。

よって、直線 AC の式は $y = -x + 4$。

(2) 点 P は直線 $x - 2y = 4$ 上にあるので、点 P の座標を $(x_P, y_P)$ とすると、$x_P - 2y_P = 4$ が成り立つ。つまり、$x_P = 2y_P + 4$。

点 P は直線 $y = -x + 4$ 上にもあるので、$y_P = -x_P + 4$。

これらを連立させて、$x_P = 2(-x_P + 4) + 4$。

$x_P = -2x_P + 8 + 4$

$3x_P = 12$

$x_P = 4$

$y_P = -4 + 4 = 0$

点 P の座標は (4, 0) となるが、この場合は A と一致するので条件を満たさない。

点 P は直線 $x - 2y = 4$ 上にある。点 C(0,4) と点 P を通る直線を考える。点Qは直線CPとx軸の交点なので、y=0である。$\triangle COQ = \triangle AQP$ という条件より、線分 OQ と線分 AQ の長さが等しい必要がある。なぜなら、二つの三角形の高さが等しいからである。したがって、点 Q は線分 OA の中点となり、点 Q の座標は (2, 0) である。

直線 CP の傾きを m とすると、直線 CP の式は $y = m(x - 2)$ と表せる。この直線が点 C(0, 4) を通るので、$4 = m(0 - 2)$。したがって、$m = -2$。

直線 CP の式は $y = -2(x - 2) = -2x + 4$ である。点 P は直線 $x - 2y = 4$ 上にもあるので、

$x - 2(-2x + 4) = 4$

$x + 4x - 8 = 4$

$5x = 12$

$x = \frac{12}{5}$

$y = -2(\frac{12}{5}) + 4 = -\frac{24}{5} + \frac{20}{5} = -\frac{4}{5}$

したがって、点 P の座標は $(\frac{12}{5}, -\frac{4}{5})$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + 4$

(2) $(\frac{12}{5}, -\frac{4}{5})$