点A(3, 0), B(6, 0), C(0, 6) に対して、点Pが以下の条件を満たしながら動くとき、点Pのえがく図形をそれぞれ求めます。 (1) $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AC}|^2$

1. 問題の内容

点A(3, 0), B(6, 0), C(0, 6) に対して、点Pが以下の条件を満たしながら動くとき、点Pのえがく図形をそれぞれ求めます。

(1) $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AC}|^2$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ は、点Pが三角形ABCの重心であることを意味します。三角形ABCの重心Gの座標は、

$G = (\frac{3+6+0}{3}, \frac{0+0+6}{3}) = (3, 2)$

となります。したがって、点Pは点Gと一致するので、図形としては点です。しかし選択肢の中から最も近いものを選ぶ必要があります。

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AC}|^2$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$　とおきます。

$\overrightarrow{OA} = (3, 0)$, $\overrightarrow{OB} = (6, 0)$, $\overrightarrow{OC} = (0, 6)$

$\overrightarrow{AB} = (6-3, 0-0) = (3, 0)$

$\overrightarrow{AC} = (0-3, 6-0) = (-3, 6)$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = (-3)^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$

$\overrightarrow{OP} = (x, y)$とおくと $\overrightarrow{AP} = (x-3, y)$

$\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = 45$

$(-3, 6) \cdot (3(x-3, y) - (3, 0)) = 45$

$(-3, 6) \cdot (3x-9-3, 3y) = 45$

$(-3, 6) \cdot (3x-12, 3y) = 45$

$-3(3x-12) + 6(3y) = 45$

$-9x + 36 + 18y = 45$

$-9x + 18y = 9$

$-x + 2y = 1$

$x - 2y + 1 = 0$

これは直線を表します。

3. 最終的な答え

(1) 1: ①

(2) 2: ①