点A(3, 0), B(6, 0), C(0, 6) に対して、点Pが以下の条件を満たしながら動くとき、点Pのえがく図形をそれぞれ求める問題です。 (1) $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \vec{0}$ (2) $\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AC}|^2$

はい、承知しました。問題文を読んで、解いていきましょう。

1. 問題の内容

点A(3, 0), B(6, 0), C(0, 6) に対して、点Pが以下の条件を満たしながら動くとき、点Pのえがく図形をそれぞれ求める問題です。

(1) $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \vec{0}$

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AC}|^2$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \vec{0}$ について

この式は、点Pが三角形ABCの重心Gと一致することを意味します。三角形ABCの重心Gの座標は、各頂点の座標の平均を取ることで求められます。

$G = (\frac{3+6+0}{3}, \frac{0+0+6}{3}) = (3, 2)$

したがって、点Pは点G(3, 2) に一致します。これは円ではなく、点です。この問題の選択肢には、重心G(3,2)を中心とする円があるので、(1)の条件は$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \vec{0}$ではなく、$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \vec{c}$ (cは定数ベクトル)ではないかと考えられます。

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \vec{3}$と解釈した場合、

$\overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$

$3\overrightarrow{PG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = \vec{0}$

$3\overrightarrow{PG} = \vec{0}$

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{0}$なので、原文の$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \vec{3}$という条件は、$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\vec{0}$を意味するものと想定します。したがって$\overrightarrow{PG}=\vec{0}$となり、点Pは重心G(3,2)と一致します。

(1)は選択肢の①△ABCの重心G(3, 2)を中心とする半径1の円、ではなく、△ABCの重心G(3, 2)を中心とする半径0の円と解釈できます。しかし、0の円という選択肢はないので、これは問題が不適切であるか、もしくは問題文の解釈が間違っている可能性があります。

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AC}|^2$ について

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OA} = (3, 0), \overrightarrow{OB} = (6, 0), \overrightarrow{OC} = (0, 6)$

$\overrightarrow{AB} = (3, 0 - 0) = (3, 0) ; \overrightarrow{AC} = (0 - 3, 6 - 0) = (-3, 6)$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = (-3)^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$

$\overrightarrow{OP} = (x, y)$とすると、$\overrightarrow{AP} = (x - 3, y)$

$\overrightarrow{AC} \cdot (3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = (-3, 6) \cdot (3(x - 3, y) - (3, 0)) = (-3, 6) \cdot (3x - 9 - 3, 3y) = (-3, 6) \cdot (3x - 12, 3y) = -3(3x - 12) + 6(3y) = -9x + 36 + 18y = 45$

$-9x + 18y = 45 - 36 = 9$

$-x + 2y = 1$

$x - 2y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) ①

(2) ① $x - 2y + 1 = 0$