問題は2つあります。 (1) $\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $N$ とし、線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とします。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$ として、$\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ で表す。 (2) 平行四辺形 $OABC$ において、辺 $OA$ の中点を $M$、辺 $OC$ を $1:2$ に内分する点を $N$ とし、線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とします。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OC} = \vec{c}$ として、$\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{c}$ で表す。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $N$ とし、線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とします。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$ として、$\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ で表す。

(2) 平行四辺形 $OABC$ において、辺 $OA$ の中点を $M$、辺 $OC$ を $1:2$ に内分する点を $N$ とし、線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とします。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OC} = \vec{c}$ として、$\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{c}$ で表す。

2. 解き方の手順

(1)

$P$ は線分 $AN$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{ON} = (1-s)\vec{a} + s\frac{3}{4}\vec{b}$

と表せる。

$P$ は線分 $BM$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM} = (1-t)\vec{b} + t\frac{3}{5}\vec{a}$

と表せる。

したがって

$(1-s)\vec{a} + \frac{3}{4}s\vec{b} = \frac{3}{5}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので

$1-s = \frac{3}{5}t$

$\frac{3}{4}s = 1-t$

この連立方程式を解くと、$s = \frac{8}{11}, t = \frac{5}{11}$

したがって

$\vec{OP} = (1-\frac{8}{11})\vec{a} + \frac{3}{4}\cdot\frac{8}{11}\vec{b} = \frac{3}{11}\vec{a} + \frac{6}{11}\vec{b}$

(2)

$P$ は線分 $AN$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{ON} = (1-s)\vec{a} + s\frac{1}{3}\vec{c}$

と表せる。

$P$ は線分 $BM$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$

ここで$\vec{OB} = \vec{OA}+\vec{OC} = \vec{a} + \vec{c}$

したがって

$\vec{OP} = (1-t)(\vec{a} + \vec{c}) + t\frac{1}{2}\vec{a} = (1-t+\frac{1}{2}t)\vec{a} + (1-t)\vec{c} = (1-\frac{1}{2}t)\vec{a} + (1-t)\vec{c}$

したがって

$(1-s)\vec{a} + \frac{1}{3}s\vec{c} = (1-\frac{1}{2}t)\vec{a} + (1-t)\vec{c}$

$\vec{a}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので

$1-s = 1-\frac{1}{2}t$

$\frac{1}{3}s = 1-t$

この連立方程式を解くと、$s = 2(1-t)$ なので

$1-2(1-t) = 1-\frac{1}{2}t$

$-1+2t = -\frac{1}{2}t$

$\frac{5}{2}t = 1$

$t = \frac{2}{5}$

$s = 2(1-\frac{2}{5}) = 2\cdot\frac{3}{5} = \frac{6}{5}$

したがって

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{1}{3}s\vec{c} = (1-\frac{6}{5})\vec{a} + \frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}\vec{c} = -\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{c}$

しかし答えの選択肢にない。

$\vec{OP} = (1-\frac{1}{2}t)\vec{a} + (1-t)\vec{c} = (1-\frac{1}{5})\vec{a} + (1-\frac{2}{5})\vec{c} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c}$

OAの中点をMということは$\vec{OM}=\frac{1}{2}\vec{a}$

OCを1:2に内分する点をNということは$\vec{ON}=\frac{1}{3}\vec{c}$

PはBM上にあるので、実数uを用いて

$\vec{OP}=(1-u)\vec{OB}+u\vec{OM} = (1-u)(\vec{a}+\vec{c})+u\frac{1}{2}\vec{a}=(1-\frac{1}{2}u)\vec{a}+(1-u)\vec{c}$

PはAN上にあるので、実数vを用いて

$\vec{OP}=(1-v)\vec{OA}+v\vec{ON} = (1-v)\vec{a}+v\frac{1}{3}\vec{c}$

したがって

$(1-\frac{1}{2}u)\vec{a}+(1-u)\vec{c}=(1-v)\vec{a}+v\frac{1}{3}\vec{c}$

$1-\frac{1}{2}u=1-v$

$1-u=\frac{1}{3}v$

$\frac{1}{2}u=v$

$1-u=\frac{1}{3}\frac{1}{2}u=\frac{1}{6}u$

$1=\frac{7}{6}u$

$u=\frac{6}{7}$

$v=\frac{1}{2}u=\frac{3}{7}$

$\vec{OP}=(1-v)\vec{a}+v\frac{1}{3}\vec{c} = (1-\frac{3}{7})\vec{a}+\frac{3}{7}\frac{1}{3}\vec{c} = \frac{4}{7}\vec{a}+\frac{1}{7}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{3}{11}\vec{a} + \frac{6}{11}\vec{b}$ (選択肢 4)

(2) $\vec{OP} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{1}{7}\vec{c}$ (選択肢 4)