直角二等辺三角形ABCがあり、AB = BC = 18cmである。点Pは辺AB上を毎秒2cmでAからBへ、点Qは辺CB上を毎秒2cmでCからBへ移動する。点Pと点Qが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の$\frac{1}{9}$になるのは何秒後かを求める。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCがあり、AB = BC = 18cmである。点Pは辺AB上を毎秒2cmでAからBへ、点Qは辺CB上を毎秒2cmでCからBへ移動する。点Pと点Qが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の$\frac{1}{9}$になるのは何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 18 \times 18 = 162 cm^2$

次に、x秒後のPBとBQの長さを求める。

点PはAからBへ毎秒2cmで移動するので、x秒後のAPの長さは2x cm。よってPBの長さは$18 - 2x$ cm。

点QはCからBへ毎秒2cmで移動するので、x秒後のCQの長さは2x cm。よってBQの長さは$18 - 2x$ cm。

三角形PBQの面積は、$\frac{1}{2} \times PB \times BQ$で表される。問題文より、$\triangle PBQ$の面積は$\triangle ABC$の面積の$\frac{1}{9}$なので、$\triangle PBQ = \frac{1}{9} \times 162 = 18 cm^2$となる。

$\frac{1}{2} \times (18 - 2x) \times (18 - 2x) = 18$

$(18 - 2x)^2 = 36$

$18 - 2x = \pm 6$

$18 - 2x = 6$の場合:

$2x = 12$

$x = 6$

$18 - 2x = -6$の場合:

$2x = 24$

$x = 12$

点PはAB上、点QはCB上を移動するので、$x \le 9$でなければならない。（18cm / 2cm/秒 = 9秒)

したがって、$x = 6$のみが条件を満たす。

3. 最終的な答え

6秒後