三角形ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点D, E, Fをとる。BD:DC = CE:EA = AF:FB = 3:2 となるとき、線分ADとCFの交点をG、線分BEとCFの交点をHとする。このとき、CG:GH:HFを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点D, E, Fをとる。BD:DC = CE:EA = AF:FB = 3:2 となるとき、線分ADとCFの交点をG、線分BEとCFの交点をHとする。このとき、CG:GH:HFを求める。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができる。

まず、チェバの定理より、

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{8}$

よって、3本の直線AD, BE, CFは一点で交わらない。

この交点は重心ではないので、CG:GH:HFは1:1:1ではない。

次に、メネラウスの定理を用いて、CG:GH:HFを求める。

三角形ABDと直線FCについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{15}{4} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{DG}{GA} = \frac{4}{15}$

よって、AG:GD = 15:4

同様に、三角形BCFと直線BEについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AH}{HG} = 1$

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CG}{GF} \cdot \frac{FA}{AB} = 1$

$\frac{CE}{EA} \cdot \frac{AB}{BF} \cdot \frac{FH}{HC} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{FH}{HC} = 1$

$\frac{CE}{EA} = \frac{3}{2}$

$\frac{AB}{BF} = \frac{5}{2}$

$\frac{FH}{HC} = \frac{2}{5}$

$\frac{HF}{FC} = \frac{HF}{HF + HC} = \frac{FH}{FH+\frac{5}{2}FH} = \frac{2}{7}$

次に、AG:GD = 15:4, BD:DC = 3:2より、

AD = AG + GD

CF = CG + GH + HF

ここで、CFを基準にして、CG, GH, HFの比率を求める。

$FC = \frac{7}{2}HF$

三角形AFCにおいてメネラウスの定理より

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{DG}{GA} = \frac{4}{15}$

$AD = AG+GD$

$CG:GH:HF = 10:5:4$

3. 最終的な答え

10:5:4