問題は、与えられたベクトル方程式を満たす点Pがどのような図形上にあるかを求める問題です。 (1) $|4\vec{p} - 3\vec{a} - \vec{b}| = 8$ (2) $(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}+\vec{b}) = 0$

1. 問題の内容

問題は、与えられたベクトル方程式を満たす点Pがどのような図形上にあるかを求める問題です。

(1) $|4\vec{p} - 3\vec{a} - \vec{b}| = 8$

(2) $(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}+\vec{b}) = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$4\vec{p} - 3\vec{a} - \vec{b} = 4(\vec{p} - \frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b})$

$\vec{c} = \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$とおくと、$\vec{c}$は線分ABを1:3に内分する点Cの位置ベクトルとなる。

$|4(\vec{p} - \vec{c})| = 8$

$|\vec{p} - \vec{c}| = 2$

これは、点Cを中心とする半径2の円を表す。

よって、線分ABを1:3に内分する点を中心とする半径2の円周上にある。

(2)

$(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}+\vec{b}) = 0$

$(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{(-b)}) = 0$

これは、点A($\vec{a}$)と点D($-\vec{b}$)を直径の両端とする円周上にあることを示す。

$\vec{d} = -\vec{b}$であるから、点Dは線分OBを2:1に外分する点となる。

点Dは線分OBを2:1に外分する点であり、線分ADを直径とする円周上にある。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 5