円Oの直径ABは7であり、円周上に点CとDがある。線分ABとCDの交点をPとする。CP=2、DP=3であるとき、OPの長さを求めよ。

1. 問題の内容

円Oの直径ABは7であり、円周上に点CとDがある。線分ABとCDの交点をPとする。CP=2、DP=3であるとき、OPの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、方べきの定理を利用する。円Oにおいて、点Pから線分CDとABが交わっているので、

$CP \cdot DP = AP \cdot BP$

という関係が成り立つ。問題文より、$CP = 2$、$DP = 3$なので、

$2 \cdot 3 = AP \cdot BP$

$6 = AP \cdot BP$

次に、円Oの半径を$r$とすると、$AB = 2r = 7$なので、$r = \frac{7}{2}$である。円の中心Oから点Aまでの長さは半径に等しいので、$OA = \frac{7}{2}$である。

$AP = OA - OP = \frac{7}{2} - OP$

$BP = OB + OP = \frac{7}{2} + OP$

したがって、

$AP \cdot BP = (\frac{7}{2} - OP)(\frac{7}{2} + OP) = (\frac{7}{2})^2 - OP^2 = \frac{49}{4} - OP^2$

これが6に等しいので、

$\frac{49}{4} - OP^2 = 6$

$OP^2 = \frac{49}{4} - 6 = \frac{49}{4} - \frac{24}{4} = \frac{25}{4}$

$OP = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

OPの長さは$\frac{5}{2}$です。