直角三角形ABCにおいて、点Pは辺AB上をAからBへ毎秒1cmの速さで動き、点Qは辺CB上をCからBへ毎秒1cmの速さで動く。点Pと点Qが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の$\frac{1}{5}$になるのは何秒後か。AB = 12cm, BC = 10cm。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点Pは辺AB上をAからBへ毎秒1cmの速さで動き、点Qは辺CB上をCからBへ毎秒1cmの速さで動く。点Pと点Qが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の$\frac{1}{5}$になるのは何秒後か。AB = 12cm, BC = 10cm。

2. 解き方の手順

出発してから$t$秒後の点P, Qの位置を考える。

点PはAから出発するので、BPの長さは$12 - t$ (cm)。

点QはCから出発するので、BQの長さは$10 - t$ (cm)。

三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 60 \text{cm}^2$

三角形PBQの面積は、

$\frac{1}{2} \times (12-t) \times (10-t)$

問題文より、三角形PBQの面積は三角形ABCの面積の$\frac{1}{5}$であるから、

$\frac{1}{2} (12-t)(10-t) = \frac{1}{5} \times 60$

$(12-t)(10-t) = 24$

$120 - 12t - 10t + t^2 = 24$

$t^2 - 22t + 120 - 24 = 0$

$t^2 - 22t + 96 = 0$

二次方程式を解く。

$(t - 6)(t - 16) = 0$

$t = 6$ または $t = 16$

$t$ は 0 から 10 の間の値である必要がある。なぜなら、Q は C から B までしか移動できないので、10秒より長い時間では Q が存在しなくなる。したがって、$t = 6$秒後。

3. 最終的な答え

6秒後