$$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{3}{4}s\vec{b}$$

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1. 問題の内容

問題1: $\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ で表せ。

問題2: 平行四辺形 $OABC$ において、辺 $OA$ の中点を $M$、辺 $OC$ を $1:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ で表せ。

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2. 解き方の手順

### 問題1

1. 点 $P$ が線分 $AN$ 上にあることから、$s$ を実数として、$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{ON}$ と表せる。$\overrightarrow{ON} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OB} = \frac{3}{4}\vec{b}$ を代入すると、

$$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{3}{4}s\vec{b}$$

2. 点 $P$ が線分 $BM$ 上にあることから、$t$ を実数として、$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OM}$ と表せる。$\overrightarrow{OM} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} = \frac{3}{5}\vec{a}$ を代入すると、

$$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$$

3. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$$1-s = \frac{3}{5}t$$

$$\frac{3}{4}s = 1-t$$

4. 上記2式を連立させて $s$ と $t$ を求める。

$s = \frac{4}{7}$ と $t = \frac{5}{7}$

5. $\overrightarrow{OP}$ に $s$ または $t$ の値を代入する。$s = \frac{4}{7}$ を代入すると、

$$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{4}{7})\vec{a} + \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{7}\vec{b} = \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$$

### 問題2

1. 点 $P$ が線分 $AN$ 上にあることから、$s$ を実数として、$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{ON}$ と表せる。$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\vec{c}$ を代入すると、

$$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{1}{3}s\vec{c}$$

2. 点 $P$ が線分 $BM$ 上にあることから、$t$ を実数として、$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OM}$ と表せる。$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{c}$ を代入すると、

$$\overrightarrow{OP} = (1-t)(\vec{a} + \vec{c}) + \frac{1}{2}t\vec{a} = (1-\frac{1}{2}t)\vec{a} + (1-t)\vec{c}$$

3. $\vec{a}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$$1-s = 1-\frac{1}{2}t$$

$$\frac{1}{3}s = 1-t$$

4. 上記2式を連立させて $s$ と $t$ を求める。

$s = \frac{6}{7}$ と $t = \frac{4}{7}$

5. $\overrightarrow{OP}$ に $s$ または $t$ の値を代入する。$s = \frac{6}{7}$ を代入すると、

$$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{6}{7})\vec{a} + \frac{1}{3}\cdot\frac{6}{7}\vec{c} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}$$

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3. 最終的な答え

問題1: $\overrightarrow{OP} = \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

問題2: $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}$