鋭角三角形OABにおいて、辺ABを1:2に内分する点をC、頂点Aから辺OBへ下ろした垂線をAD、線分OCとADの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答え、選択肢から答えを選びます。 (1) $\vec{OC}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。 (2) $\vec{OD} = t\vec{b}$ (0 < t < 1)とするとき、$t$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

1. 問題の内容

鋭角三角形OABにおいて、辺ABを1:2に内分する点をC、頂点Aから辺OBへ下ろした垂線をAD、線分OCとADの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答え、選択肢から答えを選びます。

(1) $\vec{OC}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

(2) $\vec{OD} = t\vec{b}$ (0 < t < 1)とするとき、$t$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 点Cは辺ABを1:2に内分するので、内分点の公式より

$\vec{OC} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{1+2} = \frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}$

よって、答えは選択肢2。

(2) ADはOBに垂直なので、$\vec{AD} \cdot \vec{OB} = 0$が成り立つ。

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = t\vec{b} - \vec{a}$

したがって、

$(t\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$

$t\vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$t|\vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{b}$

$t = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

よって、答えは選択肢5。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OC} = \frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}$ (選択肢2)

(2) $t = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$ (選択肢5)