円Oの周上に2点A, Bがあり、線分ABは円Oの直径である。直線$l$は円Oに接し、その接点をCとする。直線$l$とACのなす角が$72^\circ$のとき、$\angle BAC$を求める。

1. 問題の内容

円Oの周上に2点A, Bがあり、線分ABは円Oの直径である。直線$l$は円Oに接し、その接点をCとする。直線$l$とACのなす角が$72^\circ$のとき、$\angle BAC$を求める。

2. 解き方の手順

まず、円の接線に関する性質を利用する。円の接線と、接点を通る半径は垂直に交わる。したがって、$\angle OCA = 90^\circ$である。

次に、直線$l$とACのなす角が$72^\circ$であることから、$\angle ACO = 72^\circ$である。

$\angle BAC$を求めるために、$\angle ACB$について考える。ABは円Oの直径であるから、$\angle ACB$は円周角の定理より$90^\circ$である。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\triangle ABC$において、

$\angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ$ が成り立つ。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ACB - \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - \angle ABC$となる。

また、$\triangle OAC$において、OA = OC（半径）であるから、$\triangle OAC$は二等辺三角形である。したがって、$\angle OAC = \angle OCA$である。

$\angle OCA = 90^\circ$と直線$l$とのなす角が$72^\circ$より、$90^\circ - \angle ACO = 72^\circ$

$\angle ACO = 72^\circ$

$\angle BAC + \angle ACO = 90^\circ$が成り立つ。

$\angle BAC = 90^\circ - \angle ACB$

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - 90^\circ$

$\angle ACB = 90^\circ$

$\angle BCA + \angle lCA = 90^\circ$ より、$\angle lCA = 72^\circ$

$\angle BAC = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$

3. 最終的な答え

18°