三角形OABにおいて、OA = 6, AB = 7, OB = 8とする。三角形OABの内心をIとし、OIの延長とABの交点をCとする。ベクトル$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問題を解く。 (1) $\vec{OC}$を$\vec{a}, \vec{b}$で表す。 (2) $\vec{OI}$を$\vec{a}, \vec{b}$で表す。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA = 6, AB = 7, OB = 8とする。三角形OABの内心をIとし、OIの延長とABの交点をCとする。ベクトル$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問題を解く。

(1) $\vec{OC}$を$\vec{a}, \vec{b}$で表す。

(2) $\vec{OI}$を$\vec{a}, \vec{b}$で表す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OC}$について:

Cは線分AB上にあるので、実数$k$を用いて$\vec{OC} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OB} = (1-k)\vec{a} + k\vec{b}$と表せる。

また、OCは$\angle AOB$の二等分線である。

三角形OABにおいて、$OA=6$, $OB=8$, $AB=7$である。

角の二等分線の性質より、$AC:CB = OA:OB = 6:8 = 3:4$

よって、$AC:AB = 3:7$

したがって、$k = \frac{3}{7}$

$\vec{OC} = (1-\frac{3}{7})\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{b}}{7}$

(2) $\vec{OI}$について:

内心Iは、三角形OABの各内角の二等分線の交点である。

$\vec{OI} = \frac{a\vec{OA} + b\vec{OB} + c\vec{OC}}{a+b+c}$

ただし、$a = BC$, $b = AC$, $c = AB$である。

$AC = \frac{3}{7}AB = \frac{3}{7} \times 7 = 3$

$BC = \frac{4}{7}AB = \frac{4}{7} \times 7 = 4$

$\vec{OI} = \frac{4\vec{OA} + 3\vec{OB} + 7\vec{OC}}{4+3+7} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{b} + 7(\frac{4\vec{a} + 3\vec{b}}{7})}{14} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{b} + 4\vec{a} + 3\vec{b}}{14} = \frac{8\vec{a} + 6\vec{b}}{14} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{b}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OC} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{b}}{7}$

(2) $\vec{OI} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{b}}{7}$