平面上の点の座標を求める問題です。具体的には、以下の7つの小問に答えます。 1. 2点A(-1, 6), B(3, 2)について、線分ABを3:1に内分する点の座標を求める。

1. 問題の内容

平面上の点の座標を求める問題です。具体的には、以下の7つの小問に答えます。

1. 2点A(-1, 6), B(3, 2)について、線分ABを3:1に内分する点の座標を求める。

2. 1の2点について、線分ABの中点の座標を求める。

3. 1の2点について、線分ABを2:3に外分する点の座標を求める。

4. 2点A(5, -2), B(-3, 2)について、線分ABを1:3に内分する点の座標を求める。

5. 2点A(-4, -2), B(1, 8)について、線分ABを3:5に内分する点の座標を求める。

6. 3点A(-4, -1), B(-3, 6), C(5, -4)の重心の座標を求める。

7. 3点A(1, 1), B(-2, 3), C(4, 2)の重心の座標を求める。

2. 解き方の手順

1. **内分点の座標:** 線分ABを $m:n$ に内分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)とすると、

$(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$ で求められます。

2. **中点の座標:** 線分ABの中点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)とすると、

$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ で求められます。

3. **外分点の座標:** 線分ABを $m:n$ に外分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)とすると、

$(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$ で求められます。

4. **重心の座標:** 3点A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$), C($x_3$, $y_3$)の重心の座標は、

$(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ で求められます。

上記の公式を使って、各小問を解きます。

1. A(-1, 6), B(3, 2)を3:1に内分する点:

$x = \frac{1*(-1) + 3*3}{3+1} = \frac{-1+9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y = \frac{1*6 + 3*2}{3+1} = \frac{6+6}{4} = \frac{12}{4} = 3$

したがって、(2, 3)。

2. A(-1, 6), B(3, 2)の中点:

$x = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

したがって、(1, 4)。

3. A(-1, 6), B(3, 2)を2:3に外分する点:

$x = \frac{-3*(-1) + 2*3}{2-3} = \frac{3+6}{-1} = \frac{9}{-1} = -9$

$y = \frac{-3*6 + 2*2}{2-3} = \frac{-18+4}{-1} = \frac{-14}{-1} = 14$

したがって、(-9, 14)。

4. A(5, -2), B(-3, 2)を1:3に内分する点:

$x = \frac{3*5 + 1*(-3)}{1+3} = \frac{15-3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$y = \frac{3*(-2) + 1*2}{1+3} = \frac{-6+2}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

したがって、(3, -1)。

5. A(-4, -2), B(1, 8)を3:5に内分する点:

$x = \frac{5*(-4) + 3*1}{3+5} = \frac{-20+3}{8} = \frac{-17}{8}$

$y = \frac{5*(-2) + 3*8}{3+5} = \frac{-10+24}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

したがって、(-17/8, 7/4)。

6. A(-4, -1), B(-3, 6), C(5, -4)の重心:

$x = \frac{-4 + (-3) + 5}{3} = \frac{-2}{3}$

$y = \frac{-1 + 6 + (-4)}{3} = \frac{1}{3}$

したがって、(-2/3, 1/3)。

7. A(1, 1), B(-2, 3), C(4, 2)の重心:

$x = \frac{1 + (-2) + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y = \frac{1 + 3 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$

したがって、(1, 2)。

3. 最終的な答え

1. (2, 3)

2. (1, 4)

3. (-9, 14)

4. (3, -1)

5. (-17/8, 7/4)

6. (-2/3, 1/3)

7. (1, 2)