座標平面上の点 $P$ が原点の周りに $\frac{\pi}{3}$ 回転する線形変換によって、点 $P'(-1, 3\sqrt{3})$ に写像される。このとき、元の点 $P$ の座標を求めよ。

## 問題10

1. 問題の内容

座標平面上の点 $P$ が原点の周りに $\frac{\pi}{3}$ 回転する線形変換によって、点 $P'(-1, 3\sqrt{3})$ に写像される。このとき、元の点 $P$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

* 回転行列を求める。$\frac{\pi}{3}$回転を表す行列は

$R = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{3}) & -\sin(\frac{\pi}{3}) \\ \sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

* 点 $P'$ が点 $P$ を $\frac{\pi}{3}$ 回転させた点なので、$P' = RP$ である。したがって、$P = R^{-1}P'$ となる。

* 回転行列の逆行列は $R^{-1} = \begin{pmatrix} \cos(-\frac{\pi}{3}) & -\sin(-\frac{\pi}{3}) \\ \sin(-\frac{\pi}{3}) & \cos(-\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

* $P = R^{-1}P' = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 3\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \times (-1) + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3\sqrt{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \times (-1) + \frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1 + 9}{2} \\ \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2\sqrt{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$P = (4, 2\sqrt{3})$

## 問題11

1. 問題の内容

座標平面上の2点 $P(1,2)$, $Q(2,1)$ をそれぞれ $P'(2,4)$, $Q'(7,5)$ に写像する線形変換に対応する行列 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

線形変換 $A$ が存在すると仮定すると、$AP = P'$, $AQ = Q'$ が成り立つ。つまり、

$A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

$A \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2b \\ c + 2d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b \\ 2c + d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}$

これより、以下の連立方程式を得る。

$a + 2b = 2$

$2a + b = 7$

$c + 2d = 4$

$2c + d = 5$

最初の2つの式を解くと、

$a = \frac{12}{3} = 4$

$b = \frac{2-a}{2} = \frac{2-4}{2} = -1$

次の2つの式を解くと、

$c = \frac{6}{3} = 2$

$d = \frac{4-c}{2} = \frac{4-2}{2} = 1$

したがって、求める行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

## 問題12

1. 問題の内容

空間内の3点 $A(2,2,0)$, $B(2,-3,\sqrt{5})$, $C(1,-1,0)$ でつくられる三角形 $ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{AB} = B - A = (2-2, -3-2, \sqrt{5}-0) = (0, -5, \sqrt{5})$

$\vec{AC} = C - A = (1-2, -1-2, 0-0) = (-1, -3, 0)$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ \sqrt{5} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5)(0) - (\sqrt{5})(-3) \\ (\sqrt{5})(-1) - (0)(0) \\ (0)(-3) - (-5)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\sqrt{5} \\ -\sqrt{5} \\ -5 \end{pmatrix}$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{5})^2 + (-5)^2} = \sqrt{45 + 5 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$

三角形 $ABC$ の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} (5\sqrt{3}) = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

## 問題13

1. 問題の内容

空間内において点 $A(3,1,-2)$ を通り、直線 $l:\frac{x-4}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-6}{4}$ を含む平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線 $l$ 上の一点 $B$ を求める。$t = \frac{x-4}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-6}{4}$ とおくと、$x=3t+4$, $y=-2t-1$, $z=4t+6$ となる。 $t=0$ とすると、点 $B(4,-1,6)$ を得る。

次に、直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{d} = (3, -2, 4)$ を求める。

また、$\vec{AB} = B-A = (4-3, -1-1, 6-(-2)) = (1, -2, 8)$

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\vec{d}$ と $\vec{AB}$ の外積で与えられる。

$\vec{n} = \vec{d} \times \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(8) - (4)(-2) \\ (4)(1) - (3)(8) \\ (3)(-2) - (-2)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16 + 8 \\ 4 - 24 \\ -6 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -20 \\ -4 \end{pmatrix}$

法線ベクトルを $\vec{n} = (2, 5, 1)$ とする。

平面の方程式は $2(x-3) + 5(y-1) + 1(z+2) = 0$ と表される。

$2x - 6 + 5y - 5 + z + 2 = 0$

$2x + 5y + z - 9 = 0$

3. 最終的な答え

$2x + 5y + z - 9 = 0$

## 問題14

この問題は画像が不鮮明なため解けません。