3つのベクトル $\mathbf{a} = (1, 1, 2)$, $\mathbf{b} = (2, -1, 1)$, $\mathbf{c} = (-1, 2, -1)$ が与えられたとき、$\mathbf{a}+\mathbf{b}$, $\mathbf{b}+\mathbf{c}$, $\mathbf{c}+\mathbf{a}$ が作る平行六面体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

3つのベクトル $\mathbf{a} = (1, 1, 2)$, $\mathbf{b} = (2, -1, 1)$, $\mathbf{c} = (-1, 2, -1)$ が与えられたとき、$\mathbf{a}+\mathbf{b}$, $\mathbf{b}+\mathbf{c}$, $\mathbf{c}+\mathbf{a}$ が作る平行六面体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

平行六面体の体積は、3つのベクトルでできる行列式の絶対値で与えられます。

まず、$\mathbf{a}+\mathbf{b}$, $\mathbf{b}+\mathbf{c}$, $\mathbf{c}+\mathbf{a}$ を計算します。

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (1, 1, 2) + (2, -1, 1) = (3, 0, 3)$

$\mathbf{b} + \mathbf{c} = (2, -1, 1) + (-1, 2, -1) = (1, 1, 0)$

$\mathbf{c} + \mathbf{a} = (-1, 2, -1) + (1, 1, 2) = (0, 3, 1)$

次に、これらのベクトルを並べて行列を作り、その行列式を計算します。

$V = \left| \begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} \right|$

行列式を計算します。

$V = |3(1 \cdot 1 - 0 \cdot 3) - 0(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + 3(1 \cdot 3 - 1 \cdot 0)|$

$V = |3(1) - 0 + 3(3)| = |3 + 9| = |12| = 12$

3. 最終的な答え

$V = 12$