問題は、一辺の長さが8cmの正四面体ABCDに関する以下の3つの問いです。 (1) DHの長さを求めよ。（ただし、Hは三角形ABCの重心） (2) 正四面体ABCDの体積を求めよ。 (3) 辺ABの中点とそのねじれの位置にある辺の中点を結んだ線分の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を整理し、順を追って解答します。

1. 問題の内容

問題は、一辺の長さが8cmの正四面体ABCDに関する以下の3つの問いです。

(1) DHの長さを求めよ。（ただし、Hは三角形ABCの重心）

(2) 正四面体ABCDの体積を求めよ。

(3) 辺ABの中点とそのねじれの位置にある辺の中点を結んだ線分の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) DHの長さを求める。

まず、正三角形ABCにおいて、その高さ（例えば、AからBCへ下ろした垂線の長さ）を求めます。

正三角形の一辺の長さが8cmなので、高さを$h$とすると、三平方の定理より、$h = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$cmとなります。

Hは正三角形ABCの重心なので、AH = $\frac{2}{3}h$。

したがって、$AH = \frac{2}{3} \times 4\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$cm。

次に、三角形ADHにおいて、三平方の定理より、$DH^2 + AH^2 = AD^2$。

$DH^2 = AD^2 - AH^2 = 8^2 - (\frac{8\sqrt{3}}{3})^2 = 64 - \frac{64 \times 3}{9} = 64 - \frac{64}{3} = \frac{192 - 64}{3} = \frac{128}{3}$

よって、$DH = \sqrt{\frac{128}{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$cm。

(2) 正四面体ABCDの体積を求める。

正四面体の体積Vは、$V = \frac{1}{3} \times (底面積) \times (高さ)$で求められます。

底面積は正三角形ABCの面積なので、$\frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$cm$^2$。

高さはDHなので、$\frac{8\sqrt{6}}{3}$cm。

$V = \frac{1}{3} \times 16\sqrt{3} \times \frac{8\sqrt{6}}{3} = \frac{128\sqrt{18}}{9} = \frac{128 \times 3\sqrt{2}}{9} = \frac{128\sqrt{2}}{3}$cm$^3$。

(3) 辺ABの中点とそのねじれの位置にある辺の中点を結んだ線分の長さを求める。

辺ABの中点をM、辺CDの中点をNとします。このときMNの長さを求めることになります。正四面体の性質より、MNはABとCDに垂直であり、MNの長さは正四面体の高さの半分に相当します。

正四面体の高さはDHとして(1)で求めたように$\frac{8\sqrt{6}}{3}$cmです。

したがって、$MN = \frac{1}{2} * \frac{8\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$cmとなります。

3. 最終的な答え

(1) DHの長さ: $\frac{8\sqrt{6}}{3}$ cm

(2) 正四面体ABCDの体積: $\frac{128\sqrt{2}}{3}$ cm$^3$

(3) 辺ABの中点とそのねじれの位置にある辺の中点を結んだ線分の長さ: $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ cm