与えられた図形の円錐台について、以下の3つの問いに答えます。 (1) 水面の円の半径を求める。 (2) 容器に入っている水の体積を求める。 (3) 水の体積は、容器の容積の何分のいくつになるかを求める。

1. 問題の内容

与えられた図形の円錐台について、以下の3つの問いに答えます。

(1) 水面の円の半径を求める。

(2) 容器に入っている水の体積を求める。

(3) 水の体積は、容器の容積の何分のいくつになるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 水面の円の半径を求める。

図より、水面の円の直径は12cmなので、半径は $12 \div 2 = 6$ cm。

(2) 容器に入っている水の体積を求める。

容器に入っている水は円錐台の形をしています。円錐台の体積は、大きい円錐の体積から小さい円錐の体積を引くことで求められます。

大きい円錐の高さは12cm、底面の半径は6cmなので、体積は

$V_{大} = \frac{1}{3} \pi \times 6^2 \times 12 = 144\pi$ cm$^3$

小さい円錐の高さは12-8 = 4cm、底面の半径は大きい円錐と相似なので、

$6:r = 12:4$

$r = \frac{6\times 4}{12}=2$cm

体積は

$V_{小} = \frac{1}{3} \pi \times 2^2 \times 4 = \frac{16}{3}\pi$ cm$^3$

よって、円錐台の体積は

$V = V_{大} - V_{小} = 144\pi - \frac{16}{3}\pi = \frac{432-16}{3}\pi = \frac{416}{3}\pi$ cm$^3$

(3) 水の体積は、容器の容積の何分のいくつになるかを求める。

容器全体の体積は、大きい円錐の体積なので、$144\pi$ cm$^3$です。

水の体積は $\frac{416}{3}\pi$ cm$^3$なので、

$\frac{\frac{416}{3}\pi}{144\pi} = \frac{416}{3 \times 144} = \frac{416}{432} = \frac{52}{54} = \frac{26}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 水面の円の半径: 6 cm

(2) 容器に入っている水の体積: $\frac{416}{3}\pi$ cm$^3$

(3) 水の体積は、容器の容積の $\frac{26}{27}$