円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点を持つときの定数 $m$ の値の範囲を求め、さらに接するときの $m$ の値と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点を持つときの定数 $m$ の値の範囲を求め、さらに接するときの $m$ の値と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線の距離が円の半径以下であることです。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は原点(0, 0)であり、半径は1です。

直線 $y = mx + 2$ は $mx - y + 2 = 0$ と変形できます。

点(0, 0)と直線 $mx - y + 2 = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より

$d = \frac{|m \cdot 0 - 0 + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}}$

円と直線が共有点を持つためには、$d \leq 1$ である必要があります。

したがって、

$\frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}} \leq 1$

両辺を2乗すると

$\frac{4}{m^2 + 1} \leq 1$

両辺に $m^2 + 1$ をかけると($m^2+1$は常に正であるから不等号の向きは変わらない)

$4 \leq m^2 + 1$

$m^2 \geq 3$

したがって、$m \leq -\sqrt{3}$ または $m \geq \sqrt{3}$

次に、円と直線が接する場合を考えます。接する場合は、$d = 1$ となります。

$\frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$

両辺を2乗すると

$\frac{4}{m^2 + 1} = 1$

$m^2 + 1 = 4$

$m^2 = 3$

$m = \pm \sqrt{3}$

$m = \sqrt{3}$ のとき、直線は $y = \sqrt{3}x + 2$ です。これを円の方程式に代入すると、

$x^2 + (\sqrt{3}x + 2)^2 = 1$

$x^2 + 3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4 = 1$

$4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$

$(2x + \sqrt{3})^2 = 0$

$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

接点の座標は $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

$m = -\sqrt{3}$ のとき、直線は $y = -\sqrt{3}x + 2$ です。これを円の方程式に代入すると、

$x^2 + (-\sqrt{3}x + 2)^2 = 1$

$x^2 + 3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 1$

$4x^2 - 4\sqrt{3}x + 3 = 0$

$(2x - \sqrt{3})^2 = 0$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

接点の座標は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

3. 最終的な答え

$m$ の値の範囲: $m \leq -\sqrt{3}$ または $m \geq \sqrt{3}$

接するときの $m$ の値: $m = \sqrt{3}$ のとき、接点の座標は $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

$m = -\sqrt{3}$ のとき、接点の座標は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$