## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

与えられた画像には複数の問題が含まれていますので、どの問題について解答を希望するかを指定してください。ここでは、16, 17(1)(2), 18, 19(1)(2) を解きます。

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6. 問題の内容

点 $(-4, 2)$ と直線 $y = 5x - 4$ の距離を求めよ。

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2. 解き方の手順

点と直線の距離の公式を用いる。直線の方程式を一般形 $ax + by + c = 0$ に変形すると、 $5x - y - 4 = 0$ となる。点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられる。この公式に、点 $(-4, 2)$ と直線 $5x - y - 4 = 0$ の係数を代入する。

$d = \frac{|5(-4) - (2) - 4|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2}} = \frac{|-20 - 2 - 4|}{\sqrt{25 + 1}} = \frac{|-26|}{\sqrt{26}} = \frac{26}{\sqrt{26}} = \sqrt{26}$

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3. 最終的な答え

$\sqrt{26}$

### 17(1). 問題の内容

中心が点 $(5, -3)$、半径が $4$ である円の方程式を求めよ。

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2. 解き方の手順

円の方程式は、中心 $(a, b)$、半径 $r$ として、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

で与えられる。ここに $a=5, b=-3, r=4$ を代入する。

$(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 4^2$

$(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 16$

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3. 最終的な答え

$(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 16$

### 17(2). 問題の内容

2点 $(0, 1)$ と $(2, 3)$ を直径の両端とする円の方程式を求めよ。

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2. 解き方の手順

円の中心は、直径の両端の中点である。中点の座標は、

$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$

したがって、円の中心は $(\frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2}) = (1, 2)$ である。

円の半径は、中心と直径の端点の距離である。例えば、中心 $(1, 2)$ と点 $(0, 1)$ の距離を求める。

$r = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

円の方程式は、 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ より、

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2$

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3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2$

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8. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。また、接するときの $m$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

円と直線が共有点をもつ条件は、円の中心と直線の距離が円の半径以下であること。

円の中心は $(0, 0)$、半径は $1$ である。

直線 $y = mx + 2$ を $mx - y + 2 = 0$ と変形する。

円の中心と直線の距離 $d$ は、

$d = \frac{|m(0) - (0) + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}}$

共有点をもつ条件は $d \le 1$ であるから、

$\frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}} \le 1$

$2 \le \sqrt{m^2 + 1}$

$4 \le m^2 + 1$

$m^2 \ge 3$

$m \le -\sqrt{3}$ または $m \ge \sqrt{3}$

接する条件は $d = 1$ であるから、

$\frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$

$2 = \sqrt{m^2 + 1}$

$4 = m^2 + 1$

$m^2 = 3$

$m = \pm \sqrt{3}$

接するときの点の座標を求める。

$m = \sqrt{3}$ のとき、$y = \sqrt{3}x + 2$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入する。

$x^2 + (\sqrt{3}x + 2)^2 = 1$

$x^2 + 3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4 = 1$

$4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$

$(2x + \sqrt{3})^2 = 0$

$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

したがって、接点は $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ である。

$m = -\sqrt{3}$ のとき、$y = -\sqrt{3}x + 2$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入する。

$x^2 + (-\sqrt{3}x + 2)^2 = 1$

$x^2 + 3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 1$

$4x^2 - 4\sqrt{3}x + 3 = 0$

$(2x - \sqrt{3})^2 = 0$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = -\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

したがって、接点は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ である。

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3. 最終的な答え

$m \le -\sqrt{3}$ または $m \ge \sqrt{3}$。接するときの $m$ の値は $m = \pm \sqrt{3}$ で、接点の座標はそれぞれ $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ と $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ である。

### 19(1). 問題の内容

中心が点 $(4, 2\sqrt{3})$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$ が外接するとき、円 $C$ の方程式を求めよ。

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2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$ を変形する。

$(x^2 - 4x) + y^2 + 3 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + y^2 + 3 - 4 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 1$

この円の中心は $(2, 0)$、半径は $1$ である。

円 $C$ の中心は $(4, 2\sqrt{3})$ である。$C$ の半径を $R$ とする。

2つの円が外接する条件は、中心間の距離が半径の和に等しいことである。

中心間の距離は $\sqrt{(4 - 2)^2 + (2\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$ である。

したがって、$R + 1 = 4$ より、$R = 3$。

円 $C$ の方程式は、

$(x - 4)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 3^2$

$(x - 4)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 9$

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3. 最終的な答え

$(x - 4)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 9$

### 19(2). 問題の内容

中心が点 $(0, -2)$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 9 = 0$ が内接するとき、円 $C$ の方程式を求めよ。

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2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 9 = 0$ を変形する。

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) + 9 = 0$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) + 9 - 9 - 4 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$

この円の中心は $(-3, 2)$、半径は $2$ である。

円 $C$ の中心は $(0, -2)$ である。$C$ の半径を $R$ とする。

2つの円が内接する条件は、中心間の距離が半径の差の絶対値に等しいことである。

中心間の距離は $\sqrt{(0 - (-3))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ である。

したがって、$|R - 2| = 5$ より、$R - 2 = 5$ または $R - 2 = -5$。

$R = 7$ または $R = -3$。半径は正であるから、$R = 7$。

円 $C$ の方程式は、

$(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = 7^2$

$x^2 + (y + 2)^2 = 49$

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3. 最終的な答え

$x^2 + (y + 2)^2 = 49$