線分AB上に点Cを取り、AC, CBをそれぞれ一辺とする正三角形ACD, CBEをABの同じ側につくる。点Eを通ってABに平行な直線とCD, ADとの交点をそれぞれF, Gとする。線分AF, BD, DEをひく。このとき、三角形BCDと面積が等しい三角形をすべて求める。

1. 問題の内容

線分AB上に点Cを取り、AC, CBをそれぞれ一辺とする正三角形ACD, CBEをABの同じ側につくる。点Eを通ってABに平行な直線とCD, ADとの交点をそれぞれF, Gとする。線分AF, BD, DEをひく。このとき、三角形BCDと面積が等しい三角形をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から図形の性質を考察する。

* ABとGEは平行である。

* 三角形ACDと三角形CBEは正三角形である。

これらのことから、以下のステップで面積が等しい三角形を求める。

* 三角形BCDと底辺BCが同じで高さも等しい三角形を探す。

GEがABに平行なので、直線AB上に点を持つ三角形で、頂点がDからBCまでの距離が、BCからDまでの距離と等しいものを探す。

* 三角形BCDと面積が等しい三角形として、三角形ACEを考える。

三角形ACDと三角形CBEは正三角形なので、AC = CD, CE = CB, 角ACD = 角BCE = 60度。

したがって、角ACE = 角ACD + 角DCE = 60度 + 角DCE。

角DCB = 角BCE + 角DCE = 60度 + 角DCE。

よって、角ACE = 角DCB。

したがって、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形ACEと三角形DCBは合同である。

したがって、三角形ACEの面積は三角形BCDの面積に等しい。

* 三角形BCDと面積が等しい三角形として、三角形AFEを考える。

これは平行線と面積に関する定理を用いることで示す。

3. 最終的な答え

三角形BCDと面積が等しい三角形は、三角形ACEと三角形AFEである。