問題文は以下の通りです。 AB=AC=4cm, ∠A=90°の直角三角形ABCの辺AB上に点Pがある。CAの延長上にAD=APとなるような点Dをとり、BとDを結ぶ。CPの延長とDBとの交点をQとする。 (1) △ACPと合同な三角形を答えなさい。 (2) 点Pが辺AB上をAからBまで動くとき、点Qが描く図形の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

問題文は以下の通りです。

AB=AC=4cm, ∠A=90°の直角三角形ABCの辺AB上に点Pがある。CAの延長上にAD=APとなるような点Dをとり、BとDを結ぶ。CPの延長とDBとの交点をQとする。

(1) △ACPと合同な三角形を答えなさい。

(2) 点Pが辺AB上をAからBまで動くとき、点Qが描く図形の長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) △ACPと合同な三角形を求める。

まず、与えられた条件から、$AB=AC=4$、$AD=AP$、$∠BAC=90^\circ$ である。

△ABDにおいて、$AB=AC=4$、 $AD=AP$、$∠BAD=∠BAC+∠CAD=90^\circ+∠CAD$

△ACPにおいて、$AC=4$、$AP=AD$、$∠CAP=∠CAB+∠BAP=90^\circ+∠BAP$

ここで、$∠CAD=∠BAP$であることを示す。

$∠BAP+∠CAP=180^\circ$

$∠CAD+∠DAB=180^\circ$

$∠CAP=∠DAB$

$∠BAP = ∠DAB-90$

$∠CAD = ∠CAP-90$

△ABDにおいて、２辺とその間の角が等しいので、△ACP ≡ △ABD が成り立つ。

AB=AC=4, AP=AD, ∠BAP=∠CAD

(2) 点Pが辺AB上をAからBまで動くとき、点Qが描く図形の長さを求める。

PがAにある時、AP = 0なのでAD = 0となりDはAと一致する。この時QもAと一致する。

PがBにある時、AP = AB = 4 なのでAD = 4 となり、AD = AC であるためDとCは一致する。

CPの延長線とDB(CB)の延長線の交点はQなので、このときQはBとCの間の角の二等分線とABの交点に位置する。この時、∠ABC = 45°なので、∠CBQ = 45°/2 = 22.5°

三角形ABCは直角二等辺三角形なので∠ACB=45°である。

∠ACP = 180 - 45 = 135。

∠QCB = 90°

Qが描く図形は扇形となる。

AQの長さは、半径r = 4 の扇形の弧の長さである。中心角θは45度（π/4ラジアン）

弧の長さ = r * θ = $4*\frac{\pi}{4} = \pi$

しかし、求めるのは点Qが描く図形の長さなので、∠QAB=45°であるので、半径は4で中心角は$\pi/4$である。よって、求める長さは$4 * \frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\pi$

3. 最終的な答え

(1) △ABD

(2) $\sqrt{2}\pi$ cm