線分ABを直径とする半円の弧(ア)と、AP, PBをそれぞれ直径とする2つの半円の弧を合わせたコース(イ)がある。AP:PB = 1:3, AB = 8a mのとき、(ア)と(イ)の長さはどちらが短いか、または等しいかを理由と共に答える。

1. 問題の内容

線分ABを直径とする半円の弧(ア)と、AP, PBをそれぞれ直径とする2つの半円の弧を合わせたコース(イ)がある。AP:PB = 1:3, AB = 8a mのとき、(ア)と(イ)の長さはどちらが短いか、または等しいかを理由と共に答える。

2. 解き方の手順

(ア)の半円の弧の長さを求める。

半円の弧の長さは、$直径 \times 円周率 \times \frac{1}{2}$で求められる。

したがって、(ア)の半円の弧の長さは、

$8a \times \pi \times \frac{1}{2} = 4a\pi$となる。

次に、(イ)の2つの半円の弧の長さを求める。

AP:PB = 1:3であり、AB = 8aなので、AP = 2a, PB = 6aとなる。

APを直径とする半円の弧の長さは、$2a \times \pi \times \frac{1}{2} = a\pi$

PBを直径とする半円の弧の長さは、$6a \times \pi \times \frac{1}{2} = 3a\pi$

したがって、(イ)の2つの半円の弧の長さを合わせた長さは、$a\pi + 3a\pi = 4a\pi$となる。

(ア)と(イ)の長さを比較する。

(ア)の長さは$4a\pi$

(イ)の長さは$4a\pi$

よって、(ア)と(イ)の長さは等しい。

3. 最終的な答え

答え：等しい

理由：ABを直径とする半円の弧の長さは$4a\pi$で、AP, PBをそれぞれ直径とする半円の弧の長さを合わせた長さも$4a\pi$となるため。