平行六面体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$, $\overrightarrow{AE} = \vec{e}$とする。辺FGを2:1に内分する点をMとし、直線AMと平面BDEとの交点をPとする。 (1) $\overrightarrow{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$を用いて表せ。 (2) AP:PMを求めよ。

1. 問題の内容

平行六面体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$, $\overrightarrow{AE} = \vec{e}$とする。辺FGを2:1に内分する点をMとし、直線AMと平面BDEとの交点をPとする。

(1) $\overrightarrow{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$を用いて表せ。

(2) AP:PMを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\overrightarrow{AM}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$で表す。

点Mは辺FGを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FM} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} + \frac{2}{3} \overrightarrow{FG} = \vec{e} + \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{d}$

つまり、

$\overrightarrow{AM} = \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{d} + \vec{e}$

次に、点Pは直線AM上にあるので、実数$k$を用いて、

$\overrightarrow{AP} = k \overrightarrow{AM} = k(\vec{b} + \frac{2}{3} \vec{d} + \vec{e})$

また、点Pは平面BDE上にあるので、実数$s, t$を用いて、

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + s\overrightarrow{BD} + t\overrightarrow{BE} = \vec{b} + s(\vec{d} - \vec{b}) + t(\vec{e} - \vec{b})$

$\overrightarrow{AP} = (1-s-t)\vec{b} + s\vec{d} + t\vec{e}$

したがって、

$k(\vec{b} + \frac{2}{3} \vec{d} + \vec{e}) = (1-s-t)\vec{b} + s\vec{d} + t\vec{e}$

$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$は一次独立なので、

$k = 1-s-t$

$\frac{2}{3}k = s$

$k = t$

これらを解くと、

$k = 1 - \frac{2}{3}k - k$

$\frac{8}{3}k = 1$

$k = \frac{3}{8}$

したがって、

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{8}\vec{b} + \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3} \vec{d} + \frac{3}{8}\vec{e}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{8}\vec{b} + \frac{1}{4} \vec{d} + \frac{3}{8}\vec{e}$

(2)

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{8}\overrightarrow{AM}$なので、

$AP:AM = 3:8$

$AP:PM = 3:(8-3) = 3:5$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AP} = \frac{3}{8}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{d} + \frac{3}{8}\vec{e}$ 答え: 1

(2) AP:PM = 3:5 答え: 5