座標平面上に点 A(3, 1) を中心とし、原点 O を通る円 C がある。 (1) 円 C の方程式を求める。 (2) 円 C と x 軸の交点のうち、原点 O でない方の点を B とする。点 B の座標と、点 B における円 C の接線 l の方程式を求める。 (3) 接線 l に垂直な直線のうち、第 1 象限で円 C と接する直線を m とする。直線 m の方程式と、2 直線 l, m の交点を P、円 C と直線 m の接点を Q とするとき、3 点 B, P, Q を通る円の中心の座標と半径を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に点 A(3, 1) を中心とし、原点 O を通る円 C がある。

(1) 円 C の方程式を求める。

(2) 円 C と x 軸の交点のうち、原点 O でない方の点を B とする。点 B の座標と、点 B における円 C の接線 l の方程式を求める。

(3) 接線 l に垂直な直線のうち、第 1 象限で円 C と接する直線を m とする。直線 m の方程式と、2 直線 l, m の交点を P、円 C と直線 m の接点を Q とするとき、3 点 B, P, Q を通る円の中心の座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 C の方程式

円 C の中心 A(3, 1) と、円 C が原点 O を通ることから、半径 $r$ は、

$r = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

よって、円 C の方程式は、

$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 10$

展開すると、

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 10$

$x^2 + y^2 - 6x - 2y = 0$

(2) 点 B の座標と接線 l の方程式

円 C と x 軸（y = 0）との交点を求めるために、円 C の方程式に y = 0 を代入する。

$x^2 - 6x = 0$

$x(x - 6) = 0$

$x = 0, 6$

よって、x 軸との交点は (0, 0) と (6, 0) であり、点 B の座標は (6, 0)。

点 B(6, 0) における円 C の接線 l の方程式を求める。

円の中心 A(3, 1) と点 B(6, 0) を結ぶ直線の傾きは、

$\frac{0 - 1}{6 - 3} = -\frac{1}{3}$

接線 l はこの直線に垂直なので、接線 l の傾きは 3 である。

よって、接線 l の方程式は、

$y - 0 = 3(x - 6)$

$y = 3x - 18$

(3) 直線 m の方程式と 3 点 B, P, Q を通る円

接線 l に垂直な直線 m の傾きは $-\frac{1}{3}$。直線 m は円 C と接するため、円の中心 (3, 1) から直線 m までの距離は半径 $\sqrt{10}$ に等しい。

直線 m の方程式を $y = -\frac{1}{3} x + b$ とおく。整理して $x + 3y - 3b = 0$。

点 (3, 1) から直線 $x + 3y - 3b = 0$ までの距離は、

$\frac{|3 + 3(1) - 3b|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \sqrt{10}$

$\frac{|6 - 3b|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

$|6 - 3b| = 10$

$6 - 3b = \pm 10$

$3b = 6 \pm 10$

$b = \frac{16}{3}, -\frac{4}{3}$

直線 m は第 1 象限で円 C と接するので、y 切片は正である必要があるので、$b = \frac{16}{3}$ となる。

よって、直線 m の方程式は、

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{16}{3}$

$x + 3y - 16 = 0$

2 直線 l, m の交点 P を求める。

$y = 3x - 18$

$x + 3y - 16 = 0$

$x + 3(3x - 18) - 16 = 0$

$x + 9x - 54 - 16 = 0$

$10x = 70$

$x = 7$

$y = 3(7) - 18 = 21 - 18 = 3$

よって、P(7, 3)。

円 C と直線 m の接点 Q を求める。直線 m の方程式は $x + 3y - 16 = 0$。円の中心 A(3, 1) を通り、直線 m に垂直な直線の方程式は、

$y - 1 = 3(x - 3)$

$y = 3x - 8$

$x + 3(3x - 8) - 16 = 0$

$x + 9x - 24 - 16 = 0$

$10x = 40$

$x = 4$

$y = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4$

よって、Q(4, 4)。

3 点 B(6, 0), P(7, 3), Q(4, 4) を通る円の方程式を $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ とおく。

$(6 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2$

$(7 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2$

$(4 - a)^2 + (4 - b)^2 = r^2$

$(6 - a)^2 + b^2 = (7 - a)^2 + (3 - b)^2$

$36 - 12a + a^2 + b^2 = 49 - 14a + a^2 + 9 - 6b + b^2$

$2a + 6b = 22$

$a + 3b = 11$

$(6 - a)^2 + b^2 = (4 - a)^2 + (4 - b)^2$

$36 - 12a + a^2 + b^2 = 16 - 8a + a^2 + 16 - 8b + b^2$

$-4a + 8b = -4$

$-a + 2b = -1$

$a = 2b + 1$

$(2b + 1) + 3b = 11$

$5b = 10$

$b = 2$

$a = 2(2) + 1 = 5$

中心 (5, 2)。

$r^2 = (6 - 5)^2 + (0 - 2)^2 = 1 + 4 = 5$

よって、半径 $r = \sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

(1) 円 C の方程式: $x^2 + y^2 - 6x - 2y = 0$ または $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 10$

(2) 点 B の座標: (6, 0)、接線 l の方程式: $y = 3x - 18$

(3) 直線 m の方程式: $x + 3y - 16 = 0$、3 点 B, P, Q を通る円の中心の座標: (5, 2)、半径: $\sqrt{5}$