半径 $a$ の円に内接する二等辺三角形があり、その高さが $x$ である。 (1) 二等辺三角形の面積 $S$ を $x$ の式で表し、 $x$ の変域を求める。 (2) $S$ が最大になるときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

半径 $a$ の円に内接する二等辺三角形があり、その高さが $x$ である。

(1) 二等辺三角形の面積 $S$ を $x$ の式で表し、 $x$ の変域を求める。

(2) $S$ が最大になるときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二等辺三角形の面積 $S$ を $x$ の式で表し、$x$ の変域を求める。

- 二等辺三角形の底辺の半分を $b$ とすると、三平方の定理より $b^2 + (x-a)^2 = a^2$。

- $b^2 = a^2 - (x^2 - 2ax + a^2) = 2ax - x^2$ より $b = \sqrt{2ax - x^2}$。

- 底辺の長さは $2b = 2\sqrt{2ax - x^2}$。

- 面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2ax - x^2} \times x = x\sqrt{2ax - x^2}$。

- $S = \sqrt{x^2(2ax - x^2)} = \sqrt{2ax^3 - x^4}$

- 高さ $x$ の変域は $0 < x \le 2a$。

(2) $S$ が最大になるときの $x$ の値を求める。

- $S^2 = 2ax^3 - x^4$

- $\frac{dS^2}{dx} = 6ax^2 - 4x^3 = 2x^2(3a - 2x)$

- $\frac{dS^2}{dx} = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = \frac{3}{2}a$。

- $0 < x \le 2a$ より、$x=0$ は変域に含まれない。

- $0 < x < \frac{3}{2}a$ で $\frac{dS^2}{dx} > 0$、$\frac{3}{2}a < x < 2a$ で $\frac{dS^2}{dx} < 0$ より、$x = \frac{3}{2}a$ で $S^2$ は最大となる。

- したがって、$S$ が最大となるのは $x = \frac{3}{2}a$ のとき。

3. 最終的な答え

(1) $S = x\sqrt{2ax - x^2}$, $0 < x \le 2a$

(2) $x = \frac{3}{2}a$