円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $1$ である。

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1. 問題の内容

問題18：円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。また、接するときの $m$ の値と接点の座標を求めよ。

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2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線の距離が、円の半径以下であることである。

1. 円の中心と半径を確認する。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $1$ である。

2. 円の中心と直線の距離 $d$ を求める。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられる。

直線 $y = mx + 2$ を $mx - y + 2 = 0$ と変形する。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $mx - y + 2 = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|m \cdot 0 - 0 + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}}$

3. 共有点を持つ条件を立てる。

円と直線が共有点を持つためには、 $d \le 1$ が成り立つ必要がある。

$\frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}} \le 1$

4. 不等式を解いて $m$ の範囲を求める。

$2 \le \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して、

$4 \le m^2 + 1$

$m^2 \ge 3$

したがって、$m \le -\sqrt{3}$ または $m \ge \sqrt{3}$

5. 接するときの $m$ の値を求める。

円と直線が接するとき、 $d = 1$ が成り立つ。

$\frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$

$2 = \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して、

$4 = m^2 + 1$

$m^2 = 3$

$m = \pm\sqrt{3}$

6. 接点の座標を求める。

$y = mx + 2$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入して $x$ の方程式を求める。

$x^2 + (mx + 2)^2 = 1$

$x^2 + m^2x^2 + 4mx + 4 = 1$

$(1 + m^2)x^2 + 4mx + 3 = 0$

接するときは、判別式 $D = 0$ となる。

$D/4 = (2m)^2 - 3(1+m^2) = 4m^2 -3 -3m^2 = m^2 -3 =0$

$m = \pm \sqrt{3}$

$m = \sqrt{3}$ のとき、

$(1+3)x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$

$4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$

$(2x+\sqrt{3})^2 = 0$

$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

よって、接点は $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

$m = -\sqrt{3}$ のとき、

$4x^2 - 4\sqrt{3}x + 3 = 0$

$(2x-\sqrt{3})^2 = 0$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = -\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

よって、接点は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

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3. 最終的な答え

$m$ の値の範囲：$m \le -\sqrt{3}$ または $m \ge \sqrt{3}$

接するときの $m$ の値：$m = \sqrt{3}$ のとき、接点は $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$、 $m = -\sqrt{3}$ のとき、接点は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$