以下の3つの条件を満たす円の方程式を求める問題です。 (1) 中心が$(5, -3)$、半径が$4$ (2) 2点$(0, 1)$、$(2, 3)$を直径の両端とする (3) 3点$(2, 5)$、$(6, -3)$、$(9, 6)$を通る

1. 問題の内容

以下の3つの条件を満たす円の方程式を求める問題です。

(1) 中心が$(5, -3)$、半径が$4$

(2) 2点$(0, 1)$、$(2, 3)$を直径の両端とする

(3) 3点$(2, 5)$、$(6, -3)$、$(9, 6)$を通る

2. 解き方の手順

(1)

中心$(a, b)$、半径$r$の円の方程式は、$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$で表されます。

中心が$(5, -3)$、半径が$4$なので、円の方程式は$(x-5)^2 + (y+3)^2 = 4^2$となります。

$(x-5)^2 + (y+3)^2 = 16$

展開すると$x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9 = 16$

$x^2 + y^2 - 10x + 6y + 18 = 0$

(2)

2点$(0, 1)$、$(2, 3)$を直径の両端とする円の中心は、2点の中点です。

中心の座標は$(\frac{0+2}{2}, \frac{1+3}{2}) = (1, 2)$です。

半径は中心と直径の端点の距離です。

半径$r$は$r = \sqrt{(1-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

円の方程式は$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{2})^2$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 2$

展開すると$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 2$

$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$

(3)

円の方程式を$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$とおきます。

3点$(2, 5)$、$(6, -3)$、$(9, 6)$を通るので、それぞれ代入します。

$2^2 + 5^2 + 2a + 5b + c = 0$

$4 + 25 + 2a + 5b + c = 0$

$2a + 5b + c = -29$ (1)

$6^2 + (-3)^2 + 6a - 3b + c = 0$

$36 + 9 + 6a - 3b + c = 0$

$6a - 3b + c = -45$ (2)

$9^2 + 6^2 + 9a + 6b + c = 0$

$81 + 36 + 9a + 6b + c = 0$

$9a + 6b + c = -117$ (3)

(2) - (1)

$4a - 8b = -16$

$a - 2b = -4$

$a = 2b - 4$ (4)

(3) - (1)

$7a + b = -88$ (5)

(4)を(5)に代入

$7(2b - 4) + b = -88$

$14b - 28 + b = -88$

$15b = -60$

$b = -4$

$a = 2(-4) - 4 = -8 - 4 = -12$

(1)に代入

$2(-12) + 5(-4) + c = -29$

$-24 - 20 + c = -29$

$-44 + c = -29$

$c = 15$

円の方程式は$x^2 + y^2 - 12x - 4y + 15 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 - 10x + 6y + 18 = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$

(3) $x^2 + y^2 - 12x - 4y + 15 = 0$