(1) 点 A(1, 0, 2) と点 B(-1, 2, 0) を通る直線の方程式を求めます。 (2) 点 A(1, 0, 3), 点 B(-1, 1, 2), 点 C(0, 2, -1) を通る平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

(1) 点 A(1, 0, 2) と点 B(-1, 2, 0) を通る直線の方程式を求めます。

(2) 点 A(1, 0, 3), 点 B(-1, 1, 2), 点 C(0, 2, -1) を通る平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線の方程式を求める。

まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ を求めます。

$\overrightarrow{AB} = (-1-1, 2-0, 0-2) = (-2, 2, -2)$

このベクトルを方向ベクトルとする直線は、点 A(1, 0, 2) を通るので、直線の方程式は次のようになります。

$\frac{x-1}{-2} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-2}{-2}$

これを整理すると、

$\frac{x-1}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-1}$

よって、$x-1 = -y$ かつ $x-1 = -(z-2)$

したがって、$x+y = 1$ かつ $x+z = 3$

(2) 平面の方程式を求める。

まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を求めます。

$\overrightarrow{AB} = (-1-1, 1-0, 2-3) = (-2, 1, -1)$

$\overrightarrow{AC} = (0-1, 2-0, -1-3) = (-1, 2, -4)$

次に、法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ を求めます。$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{n} = (1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 2, (-1) \cdot (-1) - (-2) \cdot (-4), -2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = (-4+2, 1-8, -4+1) = (-2, -7, -3)$

この法線ベクトルを持つ平面の方程式は、$ax + by + cz = d$ の形で表されます。

したがって、$-2x - 7y - 3z = d$

点 A(1, 0, 3) を通るので、$-2(1) - 7(0) - 3(3) = d$

$-2 - 0 - 9 = d$

$d = -11$

したがって、平面の方程式は $-2x - 7y - 3z = -11$

$2x + 7y + 3z = 11$

3. 最終的な答え

(1) 直線の方程式：

$x+y = 1$ かつ $x+z = 3$

(2) 平面の方程式：

$2x + 7y + 3z = 11$