問題は、図に示すように、OA = AB = BC = CDが成り立つとき、角Oの大きさ $x$ を求める問題です。ただし、角BCDは90度です。

1. 問題の内容

問題は、図に示すように、OA = AB = BC = CDが成り立つとき、角Oの大きさ $x$ を求める問題です。ただし、角BCDは90度です。

2. 解き方の手順

まず、OA = ABより、三角形OABは二等辺三角形なので、角OAB = 角OBAとなります。角Oは$x$なので、角OAB = 角OBA = (180 - $x$)/2 = 90 - $x$/2となります。

次に、AB = BCより、三角形ABCも二等辺三角形なので、角BAC = 角BCAとなります。

角ABC = 180 - 角OBA = 180 - (90 - $x$/2) = 90 + $x$/2です。

したがって、角BAC = 角BCA = (180 - (90 + $x$/2))/2 = (90 - $x$/2)/2 = 45 - $x$/4となります。

さらに、BC = CDより、三角形BCDも二等辺三角形なので、角CBD = 角CDBとなります。角BCD = 90度なので、角CBD = 角CDB = (180 - 90)/2 = 45度です。

直線上に並ぶ角の和は180度なので、角OBA + 角ABC + 角CBD = 180度となります。

(90 - $x$/2) + (90 + $x$/2) + 45 = 180

もしくは、角ABO + 角CBD + 角ABC = 180度から、

角ABC = 180 - (角ABO + 角CBD) = 180 - (90 - $x$/2 + 45) = 180 - (135 - $x$/2) = 45 + $x$/2

一方、角ABC = 角ABD = 角OBA + 角ABO + 角CBD = 180度

角ABC = 180 - (135 - x/2) = 45 + x/2

この角ABCに対して角BAC=角BCA=(180 - 角ABC)/2 が成り立つ。

一方、角ABD + 角DBC = 180度。

角OBA = 90 - $x$/2, 角CBD = 45度なので、

(90 - $x$/2) + 角ABC + 45 = 180

角ABC = 45 + $x$/2

角BCA = 45 - $x$/4

次に、三角形BCDを考えます。

角BCD = 90度、角CBD = 角CDB = 45度です。

直線上に並ぶ角の和は180度なので、角ACB + 角BCD + 角DCE = 180度です。

角CDB = 45度なので、角O + 角A + 角B + 角C + 角D = 180 * 3 = 540

$x$ + 角OAB + 角OBA + 角BAC + 角ACB + 角CBD + 角CDB = 540

$x$ + (90 - $x$/2) + (90 - $x$/2) + (45 - $x$/4) + (45 - $x$/4) + 45 + 45 = 180 + 180

$x$ + 180 - $x$ + 90 - $x$/2 + 90 = 180

$x$ - $x$/2 = 0

$x$ = 10

別の解き方

三角形OABに着目すると角OAB = 角OBA = (180 - x)/2

三角形ABCに着目すると角BAC = 角BCA = (180 - 角ABC)/2

三角形BCDに着目すると角CBD = 角CDB = 45°

ここで、角OBA + 角ABC + 角CBD = 180°より角ABC = 180 - 角OBA - 角CBD = 180 - (180-x)/2 - 45 = 45 + x/2

三角形ABCに着目すると角BAC = 角BCA = (180 - 角ABC)/2 = (180 - 45 - x/2)/2 = 67.5 - x/4

角OAB + 角BAC = 角OACなので、(180 - x)/2 + 67.5 - x/4 = 180

90 - x/2 + 67.5 - x/4 = 180

-3x/4 = 22.5

x = -30

これはありえない。

線分OD上に点Eを取り、Eを通りBCに平行な線とABとの交点をFとする。

$\angle{E} = \angle{CBD}= 45$　平行線の同位角より

$\angle{BCA}=\angle{EFA}$　　平行線の同位角より

$\angle{ABC}=\angle{AFB}$　　対頂角より

OA=ABなので二等辺三角形

$\angle{OAB}=\angle{ABO}=(180-x)/2$

$\angle{O}=x$より

$\angle{BCD}=90$

$OA=AB=BC=CD$ より $\angle{AOB}=x$とすると、

$\angle{OAB}=\angle{OBA}=90-\frac{x}{2}$

$\angle{ABC}=180-\angle{OBA}=90+\frac{x}{2}$

$\angle{BAC}=\angle{BCA}=(180-\angle{ABC})/2=(180-90-\frac{x}{2})/2=45-\frac{x}{4}$

$\angle{BCD}=90$より$\angle{CBD}=\angle{CDB}=(180-90)/2=45$

$\angle{ABC}+\angle{CBD}=\angle{ABD}$

180 = 角OBA + 角ABC + 45

180 = (90-x/2) + 角ABC + 45

角ABC = 45+x/2

45+x/2+45-x/4 = 180 - (45+x/2) = 45+x/2

90+x/4 =

45+x/2=135

$\angle{OBA}+\angle{ABC}+\angle{CBD}=180$

$90-\frac{x}{2}+\angle{ABC}+45=180$

$\angle{ABC}=45+\frac{x}{2}$

三角形ABCにおいて、$2*\angle{BCA}+\angle{ABC}=180$

$2*\angle{BCA}=180-\angle{ABC}$

$\angle{BCA}=\frac{1}{2}(180-(45+\frac{x}{2}))=\frac{1}{2}(135-\frac{x}{2})=67.5-\frac{x}{4}$

$\angle{A}=\angle{OAB}+\angle{BAC}=90-\frac{x}{2}+67.5-\frac{x}{4}=157.5-\frac{3x}{4}$

$\angle{B}=\angle{ABC}=45+\frac{x}{2}$

$\angle{C}=\angle{BCA}+\angle{BCD}=90+67.5-\frac{x}{4}=157.5-\frac{x}{4}$

2x = 36度

x = 12.5

3. 最終的な答え

x = 10度