$\angle XOY$ の内部の点 $P$ から2辺 $OX, OY$ に下ろした垂線をそれぞれ $PA, PB$ とする。$OA = OB$ ならば、$OP$ は $\angle XOY$ の二等分線であることを証明せよ。

1. 問題の内容

$\angle XOY$ の内部の点 $P$ から2辺 $OX, OY$ に下ろした垂線をそれぞれ $PA, PB$ とする。$OA = OB$ ならば、$OP$ は $\angle XOY$ の二等分線であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

$\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ において、

* 仮定より、$OA = OB$

* $PA \perp OX, PB \perp OY$ より、$\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$

* $OP$ は共通の辺

三平方の定理より、

$OP^2 = OA^2 + AP^2 = OB^2 + BP^2$

$OA = OB$ より、

$OA^2 = OB^2$

よって、$AP^2 = BP^2$ となり、$AP = BP$　(長さは正であるため)

したがって、$\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ (斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい)

合同な図形では、対応する角は等しいので、$\angle AOP = \angle BOP$

よって、$OP$ は $\angle XOY$ の二等分線である。

3. 最終的な答え

$OP$ は $\angle XOY$ の二等分線である。