$x, y$ がともに整数のとき、方程式 $x^2 - 2xy + 3y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$ を満たす $(x, y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$x, y$ がともに整数のとき、方程式 $x^2 - 2xy + 3y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$ を満たす $(x, y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を変形して、平方完成を目指します。まず、$x$ について整理します。

$x^2 - (2y + 2)x + (3y^2 - 8y + 13) = 0$

次に、$x$ について平方完成します。

$(x - (y+1))^2 - (y+1)^2 + (3y^2 - 8y + 13) = 0$

$(x - y - 1)^2 - (y^2 + 2y + 1) + (3y^2 - 8y + 13) = 0$

$(x - y - 1)^2 + 2y^2 - 10y + 12 = 0$

$(x - y - 1)^2 + 2(y^2 - 5y + 6) = 0$

次に、$y$ について平方完成します。

$(x - y - 1)^2 + 2(y - 2)(y - 3) = 0$

$y$ の二次式を平方完成する代わりに、因数分解を用いる方が簡単です。整数の解を探すため、$y$ に整数値を代入して考察します。

$2(y-2)(y-3) \le 0$ となる必要があるので、$y=2$ または $y=3$ のみ考えれば良いです。

(i) $y=2$ のとき、

$(x - 2 - 1)^2 + 2(2 - 2)(2 - 3) = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

(ii) $y=3$ のとき、

$(x - 3 - 1)^2 + 2(3 - 2)(3 - 3) = 0$

$(x - 4)^2 = 0$

$x = 4$

したがって、解は $(x, y) = (3, 2), (4, 3)$ です。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (3, 2), (4, 3)$