データ $W$ は $(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)$ の4つの組からなる。このデータ $W$ に $(5a, 5a)$ を加えたデータを $W'$ とする。$W'$ の $x$ の平均値、$x$ と $y$ の共分散、標準偏差の積、相関係数が $0.95$ 以上となるような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

データ $W$ は $(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)$ の4つの組からなる。このデータ $W$ に $(5a, 5a)$ を加えたデータを $W'$ とする。$W'$ の $x$ の平均値、$x$ と $y$ の共分散、標準偏差の積、相関係数が $0.95$ 以上となるような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $W'$ の $x$ の平均値を求める。

$W'$ の $x$ の値は $-1, -1, 1, 1, 5a$ なので、平均値は

$\frac{-1-1+1+1+5a}{5} = \frac{5a}{5} = a$

よって、解答は 5a （①）

(2) $W'$ の $x$ と $y$ の共分散を求める。

まず、表1の計算表を埋める。

$x$の平均 $\bar{x}=a$, $y$の平均 $\bar{y}=a$

| $x$ | $y$ | $x-\bar{x}$ | $y-\bar{y}$ | $(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ |

|---|---|---|---|---|

| -1 | -1 | $-1-a$ | $-1-a$ | $(-1-a)^2 = 1 + 2a + a^2$ |

| -1 | 1 | $-1-a$ | $1-a$ | $(-1-a)(1-a) = -1 + a -a + a^2 = -1 + a^2$ |

| 1 | -1 | $1-a$ | $-1-a$ | $(1-a)(-1-a) = -1 - a + a + a^2 = -1 + a^2$ |

| 1 | 1 | $1-a$ | $1-a$ | $(1-a)^2 = 1 - 2a + a^2$ |

| 5a | 5a | $5a-a = 4a$ | $5a-a = 4a$ | $(4a)^2 = 16a^2$ |

共分散は偏差の積の平均値なので

$\frac{(1 + 2a + a^2) + (-1 + a^2) + (-1 + a^2) + (1 - 2a + a^2) + 16a^2}{5} = \frac{4a^2 + 16a^2}{5} = \frac{20a^2}{5} = 4a^2$

よって、解答は $4a^2$ （⓪）

(3) $W'$ の $x$ と $y$ の標準偏差の積 $s_x s_y$ を求める。

まず、$x$の分散を求める。$x$の分散は$x^2$の平均から$x$の平均の二乗を引いたもの。

$x$の値は$-1, -1, 1, 1, 5a$なので、$x^2$の値は$1, 1, 1, 1, 25a^2$

$x^2$の平均は$\frac{1+1+1+1+25a^2}{5} = \frac{4+25a^2}{5}$

よって、$x$の分散$s_x^2 = \frac{4+25a^2}{5} - a^2 = \frac{4+25a^2-5a^2}{5} = \frac{4+20a^2}{5}$

$y$の値は$-1, 1, -1, 1, 5a$なので、$y^2$の値は$1, 1, 1, 1, 25a^2$

$y^2$の平均は$\frac{1+1+1+1+25a^2}{5} = \frac{4+25a^2}{5}$

よって、$y$の分散$s_y^2 = \frac{4+25a^2}{5} - a^2 = \frac{4+25a^2-5a^2}{5} = \frac{4+20a^2}{5}$

$s_x = \sqrt{\frac{4+20a^2}{5}} = \sqrt{\frac{4(1+5a^2)}{5}} = 2 \sqrt{\frac{1+5a^2}{5}}$

$s_y = \sqrt{\frac{4+20a^2}{5}} = \sqrt{\frac{4(1+5a^2)}{5}} = 2 \sqrt{\frac{1+5a^2}{5}}$

$s_x s_y = 4 \frac{1+5a^2}{5} = \frac{4 + 20a^2}{5}$

$s_x s_y = \frac{20a^2 + 4}{5} = 4a^2 + \frac{4}{5}$

よって、解答は $4a^2 + \frac{4}{5}$ （②）

(4) 相関係数 $r$ は $r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$ であり、条件 $r \ge 0.95$ は $s_{xy} \ge 0.95 s_x s_y$ となる。

$4a^2 \ge 0.95 (4a^2 + \frac{4}{5})$

$4a^2 \ge 0.95(4a^2) + 0.95(\frac{4}{5})$

$4a^2 \ge 3.8a^2 + \frac{3.8}{5}$

$0.2a^2 \ge \frac{3.8}{5}$

$a^2 \ge \frac{3.8}{5 \times 0.2} = \frac{3.8}{1} = 19$

$a \ge \sqrt{19}$ または $a \le -\sqrt{19}$

$a \ge \sqrt{19}$ のとき、$5a$ の値は大きくなり、分散も大きくなるので、相関係数は1に近づく。

$a \le -\sqrt{19}$ のときも同様に相関係数は1に近づく。

$a^2 \ge 19$

$|a| \ge \sqrt{19}$

$a \ge \sqrt{19}$ または $a \le -\sqrt{19}$

選択肢から選ぶと

$a \le -\frac{2\sqrt{19}}{5}$ または $a \ge \frac{2\sqrt{19}}{5}$　（④）

3. 最終的な答え

二: 5a

ヌ: $4a^2$

ネ: $4a^2 + \frac{4}{5}$

ノ: $a \le -\frac{2\sqrt{19}}{5}$, $\frac{2\sqrt{19}}{5} \le a$