数直線上を動く点Pがあり、最初は原点にいます。サイコロを3回投げて、Pの位置がどう変化するかを考えます。 * 1, 2, 3の目が出たら、Pは正の方向に1進みます。 * 4, 5の目が出たら、Pは動きません。 * 6の目が出たら、Pは原点に戻ります（原点にいる場合は動きません）。 問題は、サイコロを3回投げた後に、Pが座標2にいる確率と、Pが原点にいる確率をそれぞれ求めるものです。

1. 問題の内容

数直線上を動く点Pがあり、最初は原点にいます。サイコロを3回投げて、Pの位置がどう変化するかを考えます。

* 1, 2, 3の目が出たら、Pは正の方向に1進みます。

* 4, 5の目が出たら、Pは動きません。

* 6の目が出たら、Pは原点に戻ります（原点にいる場合は動きません）。

問題は、サイコロを3回投げた後に、Pが座標2にいる確率と、Pが原点にいる確率をそれぞれ求めるものです。

2. 解き方の手順

まず、各試行における確率を計算します。

* 正の方向に1進む確率（1,2,3の目が出る確率）：$3/6 = 1/2$

* 動かない確率（4,5の目が出る確率）：$2/6 = 1/3$

* 原点に戻る確率（6の目が出る確率）：$1/6$

(1) Pの座標が2である確率を計算します。

Pが座標2にいるためには、3回の試行で合計2だけ進む必要があります。

考えられるパターンは次の通りです。

* 2回進む、1回動かない: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 3 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

* 1回進む、1回進む、1回原点に戻る：この組み合わせはあり得ません。なぜなら、原点に戻る目は、それ以前に2つ進む目が存在するからです。

3回の試行で正の方向に1進む回数をa, 動かない回数をb, 原点に戻る回数をcとすると、$a + b + c = 3$でなければならない。

Pの座標が2になるためには、$a=2$、つまり正の方向に2回進む必要がある。

このとき、$2 \times 1 + b \times 0 + c \times x = 2$ （ただし、xは原点に戻った時の移動量で、場所によって違うことに注意）。

考えられる組み合わせは、以下の３パターンです。

* (a,b,c)=(2,1,0): $1/2 * 1/2 * 1/3 * 3 = 1/4$

* (a,b,c)=(3,0,0): 考えられない

* (a,b,c)=(2,0,1):考えられない

したがって、Pの座標が2である確率は $\frac{1}{4}$です。

(2) Pが原点にいる確率を計算します。

Pが原点にいるためには、次のいずれかのパターンが必要です。

* 3回とも動かない: $(1/3)^3 = 1/27$

* 2回動かない、1回原点に戻る: $(1/3)^2 \times (1/6) \times 3 = 3/54 = 1/18$

* 1回動かない、2回原点に戻る: $(1/3) \times (1/6)^2 \times 3 = 3/108 = 1/36$

* 3回原点に戻る: $(1/6)^3 = 1/216$

* 1回正の方向に1進み、1回原点に戻る。残りの一回は動かない。並び方３通り

正の方向に1進む→6が出て原点に戻る、の繰り返しでも原点に戻ることに注意して考える必要があります。

3回の操作で原点にいる確率を求めます。

3回とも動かない確率は $(1/3)^3 = 1/27$

1回6が出て、残りは動かない確率は $3 \times (1/6)(1/3)^2 = 3/54 = 1/18$

1回進み、2回目6が出て原点に戻る確率は $3 \times 1/2 \times 1/6 = 1/4$。

1回動かない、1回進み、1回6が出て原点に戻る確率 = 0。進む前に原点には戻れない。

よってPが原点にいる確率は $1/27 + 1/18 + 1/216 = 8/216 + 12/216 + 1/216 = 21/216 = 7/72$.

3. 最終的な答え

Pの座標が2である確率は $\frac{1}{4}$ です。

Pが原点にある確率は $\frac{7}{72}$ です。