大人8人と子供4人、合計12人の中から5人を選ぶとき、次の選び方の総数を求める。 (1) 全ての選び方 (2) 大人3人、子供2人を選ぶ選び方

1. 問題の内容

大人8人と子供4人、合計12人の中から5人を選ぶとき、次の選び方の総数を求める。

(1) 全ての選び方

(2) 大人3人、子供2人を選ぶ選び方

2. 解き方の手順

(1) 全ての選び方：

12人の中から5人を選ぶ組み合わせの総数を求める。これは組み合わせの記号を用いて ${}_{12}C_5$と表される。

計算式は以下の通り。

${}_{12}C_5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

(2) 大人3人、子供2人を選ぶ選び方：

大人8人の中から3人を選ぶ組み合わせの数と、子供4人の中から2人を選ぶ組み合わせの数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせる。

大人8人から3人を選ぶ組み合わせは${}_{8}C_3$。

子供4人から2人を選ぶ組み合わせは${}_{4}C_2$。

計算式は以下の通り。

${}_{8}C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

${}_{4}C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

よって、大人3人と子供2人を選ぶ組み合わせの総数は、${}_{8}C_3 \times {}_{4}C_2 = 56 \times 6$

3. 最終的な答え

(1) 全ての選び方：

${}_{12}C_5 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 12 \times 11 \times 3 \times 2 = 792$通り

(2) 大人3人、子供2人を選ぶ選び方：

${}_{8}C_3 \times {}_{4}C_2 = 56 \times 6 = 336$通り

(1) 792通り

(2) 336通り