大人3人と子供5人が1列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方は何通りあるか。 (2) 両端が子供である。 (3) 少なくとも一端に大人がくる。 (4) 大人3人が続いて並び、子供5人も続いて並ぶ。 (5) どの大人も隣り合わない。

1. 問題の内容

大人3人と子供5人が1列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方は何通りあるか。

(2) 両端が子供である。

(3) 少なくとも一端に大人がくる。

(4) 大人3人が続いて並び、子供5人も続いて並ぶ。

(5) どの大人も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(2) 両端が子供である場合:

まず、両端に子供を並べる。子供は5人いるので、左端の子供の選び方は5通り。右端の子供の選び方は残りの4通り。

次に、残りの6人（大人3人、子供3人）を並べる。これは6!通り。

したがって、並び方の総数は $5 \times 4 \times 6!$ 通り。

(3) 少なくとも一端に大人がくる場合:

これは、全体から両端が子供の場合を引けば良い。

全体の並び方は8!通り。両端が子供の場合は(2)で求めた。

したがって、並び方の総数は $8! - (5 \times 4 \times 6!)$ 通り。

(4) 大人3人が続いて並び、子供5人も続いて並ぶ場合:

大人3人をひとまとめ、子供5人をひとまとめと考える。この2つのグループの並び方は2!通り。

大人3人の並び方は3!通り。子供5人の並び方は5!通り。

したがって、並び方の総数は $2! \times 3! \times 5!$ 通り。

(5) どの大人も隣り合わない場合:

まず、子供5人を並べる。これは5!通り。

次に、大人が入る場所は、子供の間と両端の6箇所。この6箇所から3箇所を選んで大人を並べる。

場所の選び方は $_{6}P_{3}$通り。大人3人の並び方は3!通り。

したがって、並び方の総数は $5! \times {}_{6}P_{3} = 5! \times (6 \times 5 \times 4)$ 通り。

3. 最終的な答え

(2) $5 \times 4 \times 6! = 5 \times 4 \times 720 = 14400$ 通り

(3) $8! - (5 \times 4 \times 6!) = 40320 - 14400 = 25920$ 通り

(4) $2! \times 3! \times 5! = 2 \times 6 \times 120 = 1440$ 通り

(5) $5! \times {}_{6}P_{3} = 120 \times (6 \times 5 \times 4) = 120 \times 120 = 14400$ 通り