問題1では、与えられた $x_i$ と $y_i$ の値を用いて、$\sum x_i$, $\sum y_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i y_i$, $\sum y_i^2$, $\sum (x_i - y_i)^2$ を計算し、また、$\sum_{i=1}^{n} (x_i + a)(y_i + b) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i + a\sum_{i=1}^{n} y_i + b\sum_{i=1}^{n} x_i + nab$ を証明することが求められています。 問題2では、修学年数と年収に関する10個の標本データが与えられています。このデータを用いて、修学年数の標本平均と年収の標本平均を計算し、さらに修学年数の標本分散と年収の標本分散を計算することが求められています。

1. 問題の内容

問題1では、与えられた $x_i$ と $y_i$ の値を用いて、$\sum x_i$, $\sum y_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i y_i$, $\sum y_i^2$, $\sum (x_i - y_i)^2$ を計算し、また、$\sum_{i=1}^{n} (x_i + a)(y_i + b) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i + a\sum_{i=1}^{n} y_i + b\sum_{i=1}^{n} x_i + nab$ を証明することが求められています。

問題2では、修学年数と年収に関する10個の標本データが与えられています。このデータを用いて、修学年数の標本平均と年収の標本平均を計算し、さらに修学年数の標本分散と年収の標本分散を計算することが求められています。

2. 解き方の手順

**問題1**

1. $\sum x_i$, $\sum y_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i y_i$, $\sum y_i^2$, $\sum (x_i - y_i)^2$ の計算

与えられた $x_1=4$, $x_2=-1$, $x_3=0$, $x_4=2$ と $y_1=2$, $y_2=7$, $y_3=5$, $y_4=6$ を用いて、それぞれの総和を計算します。

$\sum x_i = 4 + (-1) + 0 + 2 = 5$

$\sum y_i = 2 + 7 + 5 + 6 = 20$

$\sum x_i^2 = 4^2 + (-1)^2 + 0^2 + 2^2 = 16 + 1 + 0 + 4 = 21$

$\sum x_i y_i = (4)(2) + (-1)(7) + (0)(5) + (2)(6) = 8 - 7 + 0 + 12 = 13$

$\sum y_i^2 = 2^2 + 7^2 + 5^2 + 6^2 = 4 + 49 + 25 + 36 = 114$

$\sum (x_i - y_i)^2 = (4-2)^2 + (-1-7)^2 + (0-5)^2 + (2-6)^2 = 2^2 + (-8)^2 + (-5)^2 + (-4)^2 = 4 + 64 + 25 + 16 = 109$

2. $\sum_{i=1}^{n} (x_i + a)(y_i + b) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i + a\sum_{i=1}^{n} y_i + b\sum_{i=1}^{n} x_i + nab$ の証明

左辺を展開します。

$\sum_{i=1}^{n} (x_i + a)(y_i + b) = \sum_{i=1}^{n} (x_i y_i + x_i b + a y_i + ab)$

$\sum_{i=1}^{n} (x_i y_i + x_i b + a y_i + ab) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i + \sum_{i=1}^{n} x_i b + \sum_{i=1}^{n} a y_i + \sum_{i=1}^{n} ab$

$\sum_{i=1}^{n} x_i y_i + \sum_{i=1}^{n} x_i b + \sum_{i=1}^{n} a y_i + \sum_{i=1}^{n} ab = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i + b \sum_{i=1}^{n} x_i + a \sum_{i=1}^{n} y_i + nab$

したがって、$\sum_{i=1}^{n} (x_i + a)(y_i + b) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i + a\sum_{i=1}^{n} y_i + b\sum_{i=1}^{n} x_i + nab$ が証明されました。

**問題2**

1. 修学年数の標本平均と年収の標本平均の計算

修学年数の合計: $12+16+18+16+12+10+14+16+12+12 = 138$

修学年数の標本平均: $\frac{138}{10} = 13.8$

年収の合計 (万円): $480+520+760+620+590+370+690+950+610+480 = 6070$

年収の標本平均 (万円): $\frac{6070}{10} = 607$

2. 修学年数の標本分散と年収の標本分散の計算

修学年数の標本分散:

各データの偏差の2乗和を求める。

$(12-13.8)^2 + (16-13.8)^2 + (18-13.8)^2 + (16-13.8)^2 + (12-13.8)^2 + (10-13.8)^2 + (14-13.8)^2 + (16-13.8)^2 + (12-13.8)^2 + (12-13.8)^2$

$= (-1.8)^2 + (2.2)^2 + (4.2)^2 + (2.2)^2 + (-1.8)^2 + (-3.8)^2 + (0.2)^2 + (2.2)^2 + (-1.8)^2 + (-1.8)^2$

$= 3.24 + 4.84 + 17.64 + 4.84 + 3.24 + 14.44 + 0.04 + 4.84 + 3.24 + 3.24 = 59.6$

標本分散: $\frac{59.6}{10-1} = \frac{59.6}{9} \approx 6.62$

年収の標本分散:

各データの偏差の2乗和を求める。

$\sum_{i=1}^{10} (y_i - 607)^2 =$

$(480-607)^2 + (520-607)^2 + (760-607)^2 + (620-607)^2 + (590-607)^2 + (370-607)^2 + (690-607)^2 + (950-607)^2 + (610-607)^2 + (480-607)^2$

$= (-127)^2 + (-87)^2 + (153)^2 + (13)^2 + (-17)^2 + (-237)^2 + (83)^2 + (343)^2 + (3)^2 + (-127)^2$

$= 16129 + 7569 + 23409 + 169 + 289 + 56169 + 6889 + 117649 + 9 + 16129 = 244410$

標本分散: $\frac{244410}{10-1} = \frac{244410}{9} \approx 27156.67$

3. 最終的な答え

問題1:

$\sum x_i = 5$

$\sum y_i = 20$

$\sum x_i^2 = 21$

$\sum x_i y_i = 13$

$\sum y_i^2 = 114$

$\sum (x_i - y_i)^2 = 109$

問題2:

修学年数の標本平均: $13.8$

年収の標本平均 (万円): $607$

修学年数の標本分散: $6.62$

年収の標本分散 (万円): $27156.67$