Aチーム6人、Bチーム4人の中から4人のメンバーを選ぶとき、次の各場合の選び方の総数を求めます。 (1) すべての選び方 (2) Aチーム、Bチームからそれぞれ2人ずつ選ぶ (3) Bチームから少なくとも1人選ばれる (4) 特定の2人a, bがともに選ばれる (5) 特定の2人a, bについて、aは選ばれるがbは選ばれない

1. 問題の内容

Aチーム6人、Bチーム4人の中から4人のメンバーを選ぶとき、次の各場合の選び方の総数を求めます。

(1) すべての選び方

(2) Aチーム、Bチームからそれぞれ2人ずつ選ぶ

(3) Bチームから少なくとも1人選ばれる

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる

(5) 特定の2人a, bについて、aは選ばれるがbは選ばれない

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

全体の人数は $6 + 4 = 10$ 人です。この中から4人を選ぶので、組み合わせの総数は $_{10}C_4$ です。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$ 通りです。

(2) Aチーム、Bチームからそれぞれ2人ずつ選ぶ

Aチームから2人を選ぶ組み合わせは $_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

Bチームから2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

したがって、Aチーム、Bチームからそれぞれ2人ずつ選ぶ組み合わせは $15 \times 6 = 90$ 通りです。

(3) Bチームから少なくとも1人選ばれる

これは、全体からBチームから誰も選ばれない場合を除けば求められます。

Bチームから誰も選ばれない場合は、Aチームから4人選ぶことになります。

Aチームから4人を選ぶ組み合わせは $_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

したがって、Bチームから少なくとも1人選ばれる組み合わせは $210 - 15 = 195$ 通りです。

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる

aとbが選ばれるので、残りの2人を8人($10 - 2 = 8$)から選ぶことになります。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通りです。

(5) 特定の2人a, bについて、aは選ばれるがbは選ばれない

aは選ばれるので、残りの3人を9人($10 - 1 = 9$)から選びますが、bは選ばれないので、さらに1人除いて、8人($9-1=8$)から3人を選ぶことになります。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2) 90通り

(3) 195通り

(4) 28通り

(5) 56通り